『確率Ⅹ/２』

過去の数学カテゴリの質問に、「コイントスで表・裏の出る確率が1/2に収束しなくても理論的に矛盾はないのではないか？」と解釈できる質問がありました。コインは何の細工もなく作られており、トスも無作為に行われているとしてもです。まあ、コイントスを確率論からだけでなく、物理現象としても解析すれば、１/２の確率値になるのでしょうけど。
でも、例えばトランプのカードをよくシャッフルし、重ねて置いたカードから無作為に１枚抜き出し、そのカードが「ハートorダイア」または「クローバーorスペード」のどちらになるか、その確率は？という場合を考えるとどうでしょう？もちろん、カードには何の細工もなく、また無作為にシャッフルします。このような試行では、純粋な確率論の立場のみから確率を計算しても構わないでしょうし、公理的確率論からすれば、1/2の確率値に収束していかずとも、少なくとも公理を守るという点からは、矛盾はないと考えられます。極端な例を挙げれば1.5/2で表、0.5/2で裏というように。
だが、やはり、実験してみれば1/2になる（はずですよね？）。
つまりは、確率論全体からしても確率値を計算する条件（例えば「同様に確からしい」といった条件）は実験して検証せねばならない場合がある、それも、なぜそうなっているかは理論的にはわからない、ただ、そうなっているからそうなのだ、ということすらある、ということではないかと考えるのですが、どうでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 投稿文の最初の数行に、「…1/2の確率値に収束しなくてもよいのでは…」という趣旨の文章を書きました。それで、以降、確率値というときにはその値に収束していくといっているのだと判断してくれるものと勝手に思っていたのです。確率値とだけいうときには、その後に収束していくという文言が略されていると考えてください。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/11/21 20:53

• どうして１/２になるか、ということを問題にしているのですよ。ある確率、Pになるからと言って、１/２と限定することにはならない。
  それに、なぜ、収束するのかということも一度考えて見られたらよろしい。どうして、収束するとせねばならないのか？コイントスでいうなら表、裏、表、裏…と順序良く出ても公理的には問題ない。それを多数試行することによって、１/２ に収束していく、とせねばならないのは何故か？ということです。（チャンと人の話を聞いてね！）

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/11/22 21:25

No.6 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/11/22 23:37

>どうして１/２になるか、ということを問題にしているのですよ。

ある確率、Pになるからと言って、１/２と限定することにはならない。

うーん。ここまで無知だと説明しようがないな。
大数の法則を知らないなら、勉強すれば。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0 …

をはじめ、いくらでもネットに解説があるから。

＞それに、なぜ、収束するのかということも一度考えて見られたらよろしい。どうして、収束するとせねばならないのか？

説明よんでわからない？
ならば、大数の法則のなにがわからないかを具体的に聞けば？

＞コイントスでいうなら表、裏、表、裏…と順序良く出ても公理的には問題ない。それを多数試行することによって、１/２ に収束していく、とせねばならないのは何故か？ということです。

数学的に、

・表裏に違いがない。
・回数に応じて独立

なら、その場合の期待値は均等で、２通りしかないので、

１００÷２＝５０％ってだけ。

ここまでは、小学生レベル。そして、試行回数の期待値は、ｎが増えれば、極限で収束するのは、高校数学レベルでわかると思うけど。

とにかくさ、まずWiKiでも、確率論の教科書でもいいから、自分の眉唾な名説明で煙に巻くのはやめて、数式を参照して、何がわからないのか聞かなきゃ。無知の知といって、理解しない側が開き直って、持論を吹聴しつづけるのは、科学的態度ではなし、恥ずかしいことだと思いますよ。

No.5 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/11/21 21:39

＞ありがとうございます。

だが！物理現象云々を持ち出したのは、１/２に収束するということを、確率論の公理から導き出すことはできない、ということからなのです。

意味不明。大数の法則は、数学の体系に組み込まれた理論。当然、公理云々から、厳密に証明することができます。（すでにNO4の回答にありますね）

＞1/2でなく、1.5/2でも確率の公理には違反しないのです。

違反します。理論上そうなりません。なるとすれば、それは事象の独立性が担保されないど、物理的な制約によるもの。数学では、1/2 以外収束はありえません。

＞それがどうして１/2に収束するのかというと、物理現象としての諸々の要素とそれを制限する法則があるからです。

まったく違います。理論が収束することと、観察したらそうなった・・・ということは、別の話です。

人の話を聞かない、（まちがっているのに持論を突き通したい）なら、質問は取りやめてください。私も、他の回答者も含めて、回答するだけ時間の無駄なので。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/21 13:48

数学で判るのは、確率 p の独立反復事象を n 回行うとき、

n 回中にその事象が起こる回数 x の割合の極限は
lim[n→∞] x/n = p に収束する ということだけです。

コイントスが独立反復事象だと仮定するとして、
表の出る確率 p = 1/2 かどうかは、それとは別の話です。
p = 1.5/2 であれば、 lim[n→∞] x/n = p = 1.5/2 となり
lim[n→∞] x/n = 1/2 にはなりません。

「コインは何の細工もなく作られており」という文言が
p = 1/2 と仮定することを意味しているのであれば
p = 1.5/2 ではありえないし、
p = 1.5/2 でも「何の細工もなく」と考えられるのであれば
p = 1.5/2 と仮定してもよいでしょう。

何を仮定するによって計算結果は違ってくる。
それがコインだから p = 1/2 かどうか？ という考察は
現象論であって、数学や確率論とは関係がありません。
何が正しいコインかについては、数学よりも
造幣局にでも問い合わせたほうがよいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。上から目線の言になってしまうことを、何卒ご容赦ください。貴方のご意見、お考えは、１００点満点のテストで２００点以上取ったようなものと言わせて頂きたい。ただし！終わり近くの「それがコインだからp＝１/２云々」というのははっきり言って余分でした。
これがなければ、２００点どころか、１０００点進呈したいほど、素晴らしいものです。

お礼日時：2022/11/21 20:47

No.3 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/11/21 12:24

意味がよくわからないけど、

＞「コイントスで表・裏の出る確率が1/2に収束しなくても理論的に矛盾はないのではないか？」と解釈できる質問がありました。コインは何の細工もなく作られており、トスも無作為に行われているとしてもです。

大数の法則で、数学的に1/2 に収束します。
これが確率論が、現実に適用できる根拠です。

＞まあ、コイントスを確率論からだけでなく、物理現象としても解析すれば、１/２の確率値になるのでしょうけど。

物理現象としてではありません。数学的に収束です。物理現象としては、そうならないこともありうる、話が逆ですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。だが！物理現象云々を持ち出したのは、１/２に収束するということを、確率論の公理から導き出すことはできない、ということからなのです。
1/2でなく、1.5/2でも確率の公理には違反しないのです。それがどうして１/2に収束するのかというと、物理現象としての諸々の要素とそれを制限する法則があるからです。そこのところをもっとよく考えて、この投稿文を読んでいただければなあ、と思います。

お礼日時：2022/11/21 21:30

No.2 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2022/11/21 09:15

質問の趣旨がわからないのですが、コイントスの表裏は１／２に収束していくのであって、１／２になるわけではありません。

試行回数をＸ、表が出た回数をＹとすると、
Ｙ／ＸはＸが増えると１／２に近づきます。
が、表の回数と裏の回数の差が０に近づくわけではありません。

なぜかというと、途中で発生確率が変わらないのであれば、連続した試行のどの部分をとっても確率は同等になるはずだからです。
たとえば、１００回試行した結果、表が５５回、裏が４５回だったとします。
次の１００回では別に前の１００回で表が１０回多かったことには関係なく、期待値としては表が５０回、裏が５０回になるはずです。
仮にその１００回ではきっちりと表が５０回、裏が５０回になったとしても、２００回では表が１０５回、裏が９５回です。
が、発生率は最初の１００回が５５％に対して２００回では５２．５％と５０％に近づきます。

もう少し単純に考えれば、１０回の試行を行ったときに最初に表が２回続けて出たからといって、残りの８回で裏が多く出る確率が高いわけではありません。

この回答へのお礼

御意見ありがとうございます。が、「…連続した試行のどの部分をとっても確率は同等になるはずだからです」の部分が曲者なのですよ。この”確率は同等になる”ということを、確率論のそれも公理的確率論の公理から導くことはできません。だから、公理的確率論の立場から、ともかく公理を順守することを最優先にする、それが可能な試行だと仮定すると、なにも１/２ でなくともかまわないのです。
まあ、Laplaceの確率の定義にある、「同様に確からしい」というのは確率を勉強する者には身に沁みついてしまっていて、なかなかそこから自由になれないものでしょうから、無理もありませんが。
もう少し、思考を自由に遊ばせては如何？そうすれば、この投稿文の趣旨がもっと良くお分かりいただけるかと思います。（自分の文章も言わんとしていることを的確に表現していると言い切る自信はないし、もっとうまく表現できるようにならなければな、と思っています）

お礼日時：2022/11/21 21:21

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/21 00:28

質問の趣旨がよく分かりません。

何をしと問したいということですか？

コイントスは「裏表」の2つなので実験しても各々 1/2 になりそうだし、サイコロは 1/6 になりそうだ。
理論的にそうなるし、実験してもきっとそうなるだろう、ということが言いたいのですか？

だったら、「6チームで構成するプロ野球のセントラルリーグでは、どのチームが優勝するかは 1/6 である」「８頭で出走する競馬では、どの馬が勝つかは 1/8 である」となるはずだとお考えですか？
サッカーのワールドカップで日本が優勝する可能性は、スペインやブラジルと同じはずだといえますか？

この回答へのお礼

御意見ありがとうございます。
ですが…あなたの仰ることも意味がよく分かりませんね。この投稿文からなんでこんな応答が返ってくるのか？

お礼日時：2022/11/21 21:00