確率、排反と独立の問題について

確率、排反と独立の問題について質問です。
1.
100人の人が1列に並ぶとき、甲、乙の間に10人だけ入る確率を求めよ。
2.
全体事象をUとし、個別の事象A, B について考える．それぞれの事象は，個々の事例を要素とする集合として定義できる．全体事象Uの要素の個数 |U | は、全ての場合の数を示し、|U | = 120 とする．事象A, B, A∩B，の要素数（場合の数）をそれぞれ，|A| = 35 ，|B | = 80，| A∩B | = 15 とするとき，以下の問いに答えなさい．
(１)以下の値を求めよ．
・事象Aの発生する確率 Pr{ A }
・事象Bの発生する確率 Pr{ B }
・事象Aの条件において、事象Bの発生する確率 Pr{ B | A }
(2) 事象A, B はお互いに“独立”であるか？その理由と共に答えなさい
(3) 事象A, B はお互いに“排反”であるか？その理由と共に答えなさい
と言う問題について、
1. 甲と乙は100人の中から無作為に選ぶものとする。
全体の事象の数 ₁₀₀C₂ = 4950通り
選んだ2人のうち、前の人を甲、後ろの人を乙とする。
甲と乙の間に10人入る事象は、甲が前から1～89人目のそれぞれについて乙が前から12～100人目なので89通り
確率は89/4950

2.(1)
Pr{A}=35/120=7/24
Pr{B}=80/120=2/3
Pr{B|A}=15/35=3/7

(2)
Aの下でのBの確率は3/7, 非Aの下でのBの確率は65/65=1, これらが異なるので独立でない。
(3)
Pr{A∩B}=15/120=1/8 これが0でないので、排反でない。
で合っていますか？
違っていたら解説お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/19 13:35

2.

(１)
Pr{ A } = ｜A｜/｜U｜ = 35/120 = 7/24.
Pr{ B } = ｜B｜/｜U｜ = 80/120 = 2/3.
Pr{ B | A } = ｜A∩B｜/｜A｜ = 15/35 = 3/7.

(2)
A と B が“独立”の定義は、 Pr{ A∩B } = Pr{ A } Pr{ B } であること。
ここでは、
Pr{ A∩B } = ｜A∩B｜/｜U｜ = 15/120 = 1/8,
Pr{ A } Pr{ B } = (7/24)(2/3) = 7/36.
なので、独立ではない。

(3)
A と B が“背反”の定義は、Pr{ A∩B } = 0 であること。
ここでは、
Pr{ A∩B } = 1/8
なので、背反ではない。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/19 13:24

1.

甲の位置が1番目から10番目までのとき、
間に10人入る乙の位置は甲の10人後のみ。
甲の位置が11番目から89番目までのとき、
間に10人入る乙の位置は甲の10人前と10人後の2箇所。
甲の位置が90番目から100番目までのとき、
間に10人入る乙の位置は甲の10人前のみ。
甲、乙の間に10人だけ入る並び方は、
(１×10 + ２×80 + 1×10)×(98！) 通り。
それが現れる確率は、
(１×10 + ２×80 + 1×10)×(98！) ÷ (100！) = 2/110.