[数学] 丁半博打と確率と詐欺の可能性について

リアルな丁半博打で「丁丁・・・丁」と100回連続になる確率は1/2^100でほぼありえませんか？
しかし、どんな出目であったとしてもその並びになる確率は1/2^100ですよね？
そして101回目にいずれかが出る確率は1/2ですよね？
つまり、どんな並びであったとしても同じ確率で発生しますか？

ただ、現実に「丁丁・・・丁」と100回続く場合何らかの細工がされていると見るべきだと思います。
しかし、確率上は丁が100回続けて発生することもあり得えるので数学的に考えると疑うのはおかしな行動という気もします。

仮に、この場合、何%の確率で細工がされていると仮定できますか？

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/10/24 23:43

#3です。

どうして異常と思えるのか。

出目がデタラメに出るのは当然で、丁半丁半って繰り返すのもデタラメのうちの一つと思って下さい、というのが大半のご意見です。しかし、それを賭けで当て続けるヤツがいたら、「そんなのただの幸運さ」と言えるでしょうか。

ここの過去の投稿に「タコのパウル君」に関する質問がありました。元ネタは高校英語のクラウンの教科書に出ていたそうです。そこには、勝利チームを8回当て続けるのであれば「それはただの幸運さ」のレベルだということが書かれています。

不良検査で、x個目に初めて不良が検出される事象は「幾何分布」に従いますが、具体的に9個目で不良が検出される試行の出現確率は中央値で1/177です。つまり高々178匹のタコがいれば、そのうち１匹は8回続けて成功するパウル君ということになります（クラウンより）。

ところが、同じロジックで100回も当て続けるには、はたして何人の人がチャレンジすれば良いのでしょう。それが現実的な数値なら、チャレンジした人のうち一人は「ただの幸運なヤツさ」と言えるでしょうが、実は地球上の全人口を上回る人がチャレンジしても１人も現れません。これは#1さんがお示しです。奇跡が起きたって賭けに100回も当たり続けることはないと。

以上より、この現象は異常と考えます。

さて、「これはイカサマだ」と考えた方が合理的ではないかと考え、そこで母確率pを1/2ではなく現象に合うように修正しようというのがベイズの考え方です。今日、多くの領域にこの合理的な考え方が入ってきています。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/23 10:55

No.2 です。

#2 の「お礼」に書かれたことについて。

＞それであれば、「半丁半丁半丁・・・ずっと半丁の繰り返し」で100回このリズムで行われたとします。
＞この場合人間から見れば明らかに異常ですが、統計的に細工がどの程度あるかを算出することはできますか？

まったく「異常」には見えませんが？　どうして「異常」だと思いますか？
「丁」「半」がそれぞれ「1/2」の確率で出現しているなあ、という至極まっとうな事象かと思います。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/10/21 22:28

企業でSQCを推進する立場の者です。

数学的に考えて、２つの立場があります。私は企業人ですので、先のお二方とは違う見方をします。ベイズの立場です。

有意水準を５％に取れば、20回連続して丁が出た時点で「この賭博は公平である」という帰無仮説が棄却されている訳です。ただし厳密に言えば、毎回検定を行っているとすれば「多重比較」になりますので、実はもう少し進んだ時点で「イカサマ」という判定がなされますね。

さて、この場合、100勝負をするという試行が１回しか行われていませんので「何％の確率で細工がなされているか」は計算できませんが、この100勝負を通じて、丁半の母確率p（1勝負あたりの丁の確率）と100勝負中に丁が何回出るかという最大確率事象は計算できます。

これはベイズ統計の二項分布の場合に該当し、1回あたりの試行の確率p＝(α＋x)/(α＋β＋n)というようにExactに解くことができるからです。

事前分布をイカサマではないという前提でベータ分布B(5,5)を仮定すると、α＝5，β＝5、観測は、n＝100，x＝100です。
これで母確率(1試行あたりの確率)を計算してみると、
p＝0.9545455
丁が出る確率は1勝負あたり約95％です。

次の計算より、今後100勝負したときに何回丁が出るかという、事象の確率Pが計算できます。
P＝choose(100,x)＊0.9545455^x＊(1－0.9545455)^(n－x)・・・二項分布の式
で計算され、グラフにすることにより、事象を把握することができます。

MAP（マキシマム・アポステリオリ）＝最大確率になるのは、100回中96回丁が出るケースで約20％の確率です。

プロットは掲載しませんが、Rが使えるのであれば次のスクリプトでグラフを描くことが可能です。横軸が100勝負したときに丁が出る回数、縦軸がその事象の確率Pです。母確率pは先のベイズの公式から求めたpを使っています。

x <- seq(0,100,by=1)
y <- dbinom(x,100,0.9545455)
x <- data.frame(x=x,y=y)

plot(x,pch=20,type="l")

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/21 09:59

＞つまり、どんな並びであったとしても同じ確率で発生しますか？

はい、そうです。

「丁半丁半丁半・・・ずっと丁半の繰り返し」も (1/2)^100
「半丁半丁半丁・・・ずっと半丁の繰り返し」も (1/2)^100

「丁半半半半・・・残りずっと半の繰り返し」も (1/2)^100
「半丁半半半・・・残りずっと半の繰り返し」も (1/2)^100
「半半丁半半・・・残りずっと半の繰り返し」も (1/2)^100
etc.

ということです。
「すべての『丁、半』合計100個の並べ方」
を数えれば
　2^100
になるということです。
どのような並び方であっても、「その中の１つ」であることはみな同じなのです。

ただ、上の例の後半に挙げたように「99個の半と、１個の丁」の組合せは、「丁が何回目に出るか」によって
　100C1 = 100とおり
「90個の半と、１0個の丁」の組合せは、「丁が何回目か」によって
　100C10 とおり ≒ 1.73 * 10^13
など「同じ組合せの出方の順番の違い」が多いので、「組合せ」としての確率が大きくなるだけです。
「すべて丁」「すべて半」は、組合せとして「１とおり」しかないので、「組合せ」としての確率も小さいままなのです。


＞仮に、この場合、何%の確率で細工がされていると仮定できますか？

「この場合」とは『「丁丁・・・丁」と100回連続になる』ことを指しますか？
このままでは単純に「細工がされている」と『断定する』ことはできません。

「統計」の授業で習ったと思いますが、「有意水準１%で」とか「信頼度95％で」ということであれば「統計的検定」をすることはできます。
それは、
・有意水準１%で（＝信頼度99%）：99％の信頼度で「いかさまだ！」とは言える。ただし「1%」の誤りはあり得る。
・信頼度95％で（＝有意水準5%）：95％の信頼度で「いかさまだ！」とは言える。ただし「5%」の誤りはあり得る。
ということを意味します。
統計では「100%」「確実に」ということはかなり難しいです。あくまで「統計的に」ですから、「有限個のサンプル」から「100%、0％」は言えません。
これは、論理的には「推定」「確からしい」という判断であって、「断定」「論理的帰結」ではありません。

裁判では「状況証拠」によって勝てるかもしれませんが、「えん罪」の確率もゼロではないということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
>「この場合」とは『「丁丁・・・丁」と100回連続になる』ことを指しますか？
そのとおりです。
大昔ですが信頼度や有意水準はTVの視聴率の算出で習った気がします。
特に今回は偏りが多く統計的検定が使えるのですね！

それであれば、「半丁半丁半丁・・・ずっと半丁の繰り返し」で100回このリズムで行われたとします。
この場合人間から見れば明らかに異常ですが、統計的に細工がどの程度あるかを算出することはできますか？

お礼日時：2019/10/22 03:17

No.1 回答者： masha5310 回答日時： 2019/10/21 06:46

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ってことですよね

仮定で言えば細工された確率は100％になるんじゃないかな
奇跡が起きたってそんなことは起こらないというのと同じくらいの確率です。
また、仮に本当に偶然出たとしても、周りには信じてもらえません。
どうやったのかはわからないが不正を働いて出したはずだ、という結論に導かれるんじゃないでしょうか。
つまり本当であろうと嘘であろうと、細工されたという結論が用意されている、こうなる気がします