1から6が等しい確率で出るサイコロを使ってすごろくを行う。あがりのnマス手前からぴったりあがることが

1から6が等しい確率で出るサイコロを使ってすごろくを行う。あがりのnマス手前からぴったりあがることができる確率をp[n]とする(通り過ぎるのは不可)。nを限りなく大きくしたときp[n]はどのような値に近付くか。

という問題の解説が、

サイコロを1回ふったときに進む平均マス数は7/2なので、無限の長さの場合に特定のマスに止まる確率は2/7となる。したがって答えは2/7である。

となっていて、進むマス数の期待値が7/2となることは分かるのですが、その後の「無限の長さの場合に特定のマスに止まる確率は2/7となる」というのが、どうしてそう言えるのかよく分かりません。

どなたか解説していただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/03 10:55

どっかで見た覚えあるけど

数行で説明できる内容じゃなかったと思う。割と難問。

確か、漸化式マジに組んで、収束を仮定して
7/2を引き出すまでは割と楽だが
収束の証明がキツかったと記憶してる。

きっと誰か見つけて書いてくれる(^_^;)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/04 08:30

その計算はダメです。

サイコロの出目 X の期待値 E[X] = 7/2 を使って
E[1/X] = 1/E[X] としてしまっていますね？
一次関数なら E[aX+b] = aE[X}+b ですが、
一般の関数 f(X) で E[f(X)] = f(E[X]) にはなりません。
やりがちな概算ですが、期待値の二次利用には注意が必要です。

←No.2
漸化式は p[n] = (1/6)p[n-1) + (1/6)p[n-2) + (1/6)p[n-3) + (1/6)p[n-4) + (1/6)p[n-5) + (1/6)p[n-6)
になりますね。
線型漸化式ですから、特性方程式 x^6 = (1/6)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
を解くだけですが、これが解けない。
初期値を一旦忘れて、この漸化式を満たす一般の複素数列を考え、
m(n) = max{ ｜p[n]｜, ｜p[n+1]｜, ｜p[n+2]｜, ｜p[n]+3｜, ｜p[n]+4｜, ｜p[n]+5｜ }
と置くと、漸化式から 0 ≦ m[n+1] ≦ m[n] が言えるので、
m[n] は有界であり、p[n] も無限大発散はしないことが判ります。
後は ||x| = 1 となる特性根が x = 1 以外にもあるかどうかですが...
x = e^(iθ) で置換して θ の関数のグラフを考えたら、どうにかなりませんかね？
まだ、極値が求められなくて考え中なんですが。

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2022/07/02 17:17

そこがたまたま上がり位置に付く確率は3個づつ進むときは1/3、

４個づつ進むときは1/４です、逆数です。なので

＞進むマス数の期待値が7/2となる・・・
平均7/2づつ進むときは、逆数の2/7となると、思う。

この回答へのお礼

3個ずつ進むと0→3→6→9→…ですよね。
3の倍数のマスに止まる確率が1で他は確率0となるのでは？

お礼日時：2022/07/03 05:05