ビンゴの当選確率

こんにちは。

最近気になっている問題があるのですが、それは「ビンゴの当選確率」です。

ご存知の通り、ビンゴと言うのは25マスの紙（Freeマスはないと考えてください）に1～70の数字のうち25個が書いてあり、1～70の数字がかかれたボールを最大50個取り出して5つ並んだらびんごー、と言うゲームです。

この当選確率を計算したいのですが、どうやったらいいのでしょうか？できればExcelなどでやりたいのですが。

よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2001/12/06 03:31

[1] ビンゴに使われる数字は1～K (K=70)までということにしましょう。

　そして、抽選する度に、1,2,3,.....,K の順に数字が選ばれるものと決めます。（実際にはランダムに抽選しますが、それでも以下の計算には何の影響もないんです。）こうしておけば、カードだけを調べればそのカードが何回目の抽選でビンゴになるかが分かる。ですから、話が簡単になります。
　さて、N回目の抽選、つまり1～Nまでの数字が選ばれた段階で、カードが既に当たっている確率。言い換えれば、「N回目までに当たる確率」P(N)というのを求めたい。
　数字の書き方のあらゆる組み合わせはT=(K!)/((K-25)!)通りある。そのカード全部の内で、何枚が当たりになるかを数えれば確率が出ますね。

[2] このために、カードのマス目を色分けします。
N以下の数字が書いてあるマス目を赤、N以上の数字が書いてあるマス目を白に塗ることにしましょう。
　そして、取りあえず、数字が何であるかは関係なく、この赤・白の塗り分けパターンにだけ注目します。すると、赤のマス目が縦・横・あるいは斜めに、少なくとも１本並べば、そのカードは当たりということです。

[3] 赤のマス目の数を「有効マスの個数」と呼んで、これを記号mで表すことにします。例えば、m=4の場合、赤いマス目は4つしかないから、このカードは絶対にハズレ。
　また例えば、m=5の場合、赤いマス目は5つあります。その5つがどう並んでいるかで、当たりになったりハズレになったりするわけです。25個のマス目のうち5個を赤に、残り20個を白に塗るパターンは、（25個の中から5個選ぶ選び方と同じですから、）25C5通りありますが、そのうち120通りだけが当たりになります。（ここで組み合わせの数の表し方 pCq = p!/(p-q)!/q! を使っています。）
さて、mの値ごとに、何通りの当たりパターンがあるかをB[m]と書きます。これを表にしました。
B[25] = 1
B[24] = 25
B[23] = 300
B[22] = 2300
B[21] = 12650
B[20] = 53082
B[19] = 174924
B[18] = 453612
B[17] = 919213
B[16] = 1455040
B[15] = 1812188
B[14] = 1792852
B[13] = 1419596
B[12] = 902428
B[11] = 459300
B[10] = 185292
B[9] = 58094
B[8] = 13680
B[7] = 2280
B[6] = 240
B[5] = 12
mが5～25以外の値の時にはB[m]=0です。
（この表は実はプログラムを書いて計算させちゃったのです。）ともかく、この表を使って、「N回目までに当たる確率」P(N)を計算する方法を説明します。

[4] 例えばN=5の時を考えてみます。既に５回の抽選が行われ、1,2,3,4,5の書いてあるマス目を赤に塗った訳です。しかし、カードにこれら5つの数字が全部書いてあるとは限りません。
1～5の数字がカードに0個ある場合、1個ある場合、....、5個ある場合、の６通りが生じます。言い換えれば有効マスの個数mがm=0,1,2,3,4,5の６通りある。このそれぞれに場合分けする必要があります。
　まずは練習として、あらゆるカードをmの値によって６通りに分類してみましょう。
　mを一つきめます。「赤いマス目がm個あるカード」そういうカードは何枚あるかをD(N,m)とします。すると
(a)カードに書いてあるm個の数字（赤いマス目に対応する）というのは1～Nのうちのどのm個の数字であるか、という組み合わせは
NCm
通りあります。
(b) カードの赤いマス目m個の配置の仕方は
25Cm
通りあります。
(c) そのマス目に、m個の数字を並べる順列は
m!
通りあります。
(d) さて、白いマス目にどんな数字を入れるか、その選び方は
(K-m)C(25-m)
通りあって、
(e) それを並べる順列は
(25-m)!
通りあります。
　以上から、N回目の抽選の時点で、赤いマス目がm個あるカードというのは、これらの積、すなわち
D(N,m)=(NCm)(25Cm)(m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
枚ある。
D(N,m)=(N!)(25!)(K-m)!/((m!)((N-m)!)((25-m)!)((K-25)!))
と書いても同じ事です。
全部でカードは
T= ΣD(N,m)　　(Σはm=0,1,....,min(N,25)についての総和)
枚あるわけですが、これは当然、全てのカードの枚数T=(K!)/((K-25)!)と丁度一致します。
ここでmin(N,25)というのはNと25の小さい方、という意味です。
以上、練習でした。

[5]ではいよいよ、N回目の抽選までに当たりになるカードの枚数S(N)を数えます。
m=0,1,2,....,min(N,25)のそれぞれについて、当たりになるカードの枚数をA(N,m)とします。
(a)カードに書いてあるm個の数字（赤いマス目に対応する）というのは1～Nのうちのどのm個の数字であるか、という組み合わせは
NCm
通りあります。
(b) カードの赤いマス目の配置の仕方は、当たりになる配置でなくてはならないので、
B[m]
通りあります。（ここで、先に掲載した表が使われます。）
(c) そのマス目に、m個の数字を並べる順列は
m!
通りあります。
(d) さて、白いマス目にどんな数字を入れるか、その選び方は
(K-m)C(25-m)
通りあって、
(e) それを並べる順列は
(25-m)!
通りあります。
だから、
A(N,m) = (NCm)B[m](m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
です。
ゆえに、N回目の抽選までに当たりになるカードの数は
S(N) = ΣA(N,m)　　(Σはm=0,1,....,min(N,25)についての総和)
枚ある。

　N=5の場合には、B[0]～B[4]はみんな0ですから、
B[5] = 12
を使って、
S(5) =A(5,5) = (NC5)12(5!)((K-5)C(25-5))((25-5)!)
ということになります。
だから、N=5回目の抽選までに当たる確率は
P(5) = S(5)/T = 0.000000991
となります。

[6] 同様にして、N=60の場合の計算をしてみましょうか。S(60)を求めるためにA(60,m) (m=0,1,2,.....,25)をそれぞれ計算します。
A(60,m) = (60Cm)B[m](m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
S(60) = ΣA(60,m)　　(Σはm=0,1,....,min(60,25)についての総和)
となり、
P(60) = S(60)/T = 0.997590428
となります。

[7]
P(0),P(1),P(2),P(3),P(4)はいずれも0であり、
P(K), P(K-1),P(K-2),P(K-3), P(K-4)はいずれも1になることは自明でしょう。
　丁度N回目で当たりになる確率を知りたければ、P(N)-P(N-1)を計算すればよいのです。
　ちなみに、P(40)＜0.5＜P(41)です。40回ぐらいの抽選で、半数が当たりになる訳ですね。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2011/11/30 15:20

stomachmanです．No.5に式の間違いを見つけたので訂正します．計算結果は間違っていませんが，どうやら式を写し間違えて，そのまま進めてしまったようで…どうもすいません．

[4]の部分
> (d) さて、白いマス目にどんな数字を入れるか、その選び方は
> (K-m)C(25-m)
→正しくは (K-N)C(25-m)

> 以上から、N回目の抽選の時点で、赤いマス目がm個あるカードというのは、これらの積、すなわち
> D(N,m)=(NCm)(25Cm)(m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
→正しくは D(N,m)=(NCm)(25Cm)(m!)((K-N)C(25-m))((25-m)!)


[5]の部分
> (d) さて、白いマス目にどんな数字を入れるか、その選び方は
> (K-m)C(25-m)
→正しくは (K-N)C(25-m)

> だから、
> A(N,m) = (NCm)B[m](m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
→正しくは A(N,m) = (NCm)B[m](m!)((K-N)C(25-m))((25-m)!)

[6]の部分
> A(60,m) = (60Cm)B[m](m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
→正しくは A(60,m) = (60Cm)B[m](m!)((K-60)C(25-m))((25-m)!)

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2001/12/09 03:51

忘年会をやったら、ビンゴゲームがありました。

その際、カードの真ん中のマス目はFREEと書いてあって、最初から穴を開けてしまう。この場合の確率も検討しました。

ビンゴに使われる数字は1～Kまで。 （Kは70ではなく、75ぐらいまであったような気がします。）真ん中にFreeのマス目がある場合のB[m]は次のようになりました。
B[24] = 1
B[23] = 24
B[22] = 276
B[21] = 2024
B[20] = 10626
B[19] = 42480
B[18] = 133428
B[17] = 331056
B[16] = 644445
B[15] = 981424
B[14] = 1174620
B[13] = 1113360
B[12] = 841100
B[11] = 507696
B[10] = 244092
B[9] = 92520
B[8] = 27102
B[7] = 5928
B[6] = 912
B[5] = 88
B[4] = 4
mが3～24以外の値の時にはB[m]=0です。

N回目の抽選までに当たりになるカードの枚数S(N)を数えます。
m=0,1,2,....,min(N,24)のそれぞれについて、当たりになるカードの枚数をA(N,m)としますと、
A(N,m) = (NCm)B[m](m!)((K-m)C(24-m))((24-m)!)
です。 ゆえに、N回目の抽選までに当たりになるカードの数は
S(N) = ΣA(N,m)　　(Σはm=0,1,....,min(N,24)についての総和)
枚ある。

P(0),P(1),P(2),P(3)はいずれも0であり、 P(K), P(K-1),P(K-2),P(K-3), P(K-4)はいずれも1になります。
K=70とするとP(38)＜0.5＜P(39)、K=75ならP(41)＜0.5＜P(42)でした。

なお、No.5, No.6の回答に現れる表B[]の値はKの値とは無関係に決まります。

この回答へのお礼

大変詳しい回答、ありがとうございました。
特に、
最終行の辺のP(n)＜0.5＜P(n+1)は、
自分自身が施行のときに忘れていた指標でした。

大変参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2002/01/23 10:12

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2001/11/12 16:30

stomachmanチョンボしたようです。

5 queen問題に帰着するのは早計でした。もうちょっと考えてみますね。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2001/10/15 11:57

まず、ボールの抽選は1,2,3,...,70の順番で選ばれるもの、と決めてしまう。

こうすれば、確率は同じでありながら、カードを見ただけで何回目の抽選で当たるかが決まる訳で、話がとても簡単になります。
カードが何通りあるかは簡単に計算できますね。
あとは、n回目まで当たりにならないカードの数が分かればよい。
n回目まで当たりにならないカードとは、（n+1）～70までのどれかの数字が5queenの解（複数ある解のうちのどれか）の形に並んでいるものです。他のマス目がどうであろうと関係ない。そういうカードが何枚あるかを計算すればよい。これも簡単です。

5queenというのは、5×5のチェス盤の上に5個のqueen（飛車と角の両方の動きができるコマ）を配置して、どのコマも他のコマの動ける範囲に該当しないようにする配置の仕方を求める問題です。（本来のチェス盤は8×8なので、この問題はeight queen問題として知られています。）

チェス盤のどの１つの行を見ても丁度１個しかqueenがないし、どの１つの列を見ても丁度１個しかqueenがない。そういう並べ方をどんどん発生してテストすれば、全部の解を見つけるのは容易です。Excelのワークシートだけでも（循環計算を利用して）行えますが、マクロ（Visual Basic）を使った方が遙かに簡単です。

端折って書きましたので、分かりにくければ補足してください。

No.2 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/10/13 11:09

「当選確率」というのは、「○個の数字を選んだ時にビンゴしている確率」ということでしょうか。

あるいは、確率的には「何個めにビンゴするだろう」ということでしょうか。

この手のものは、「外れつづける確率」を求めるといいはずですが、
１：７０のうち、桝目の２５に当たる確率と、
２：当たった数が、並ぶ確率と、
重なりますね。

数字の配列は、どの場合でも確率的には同じだろうから、左上から順番に１～２５が並んでいるとして、
１，２，３，４，５、のビンゴも、１，６，１１，１６，２１、のビンゴも確率は同じ。

場合分けして、「5枚でビンゴ」「6枚でビンゴ」「７・・・」・・「20枚でビンゴ」（21枚でビンゴしないことは不可能）をしますか？
エクセルを使うなら、それぐらいの手間はＯＫでしょうか。

No.1 回答者： Travelsaving 回答日時： 2001/10/12 06:23

とあるゲームセンターでビンゴ大会を開催していた元ゲーセン店員です。

なんか、難しそうですね．実は自分も知りたいと思っていました．

３０名の参加者で、１０個以内にビンゴしていた方は、毎回１～２名いました。
３０個以内では、全部で２５名程度の方がビンゴしていました．
５０個だと・・・？ですが、ほとんどの確率でビンゴするのではないでしょうか?
詳しい確率は、別の方にお任せします。

役立たずでごめんなさい．