ビンゴの確率計算

はじめまして。

ビンゴする確率を教えてください。
ネットで調べたのですが、計算式が大変複雑で挫折しました・・・。
1枚のビンゴカードで、n回目でビンゴする確率が知りたいです。

【ルール】
(1)ビンゴカードは1枚のみ。
(2)真ん中はフリーで最初から空いている。
(3)ランダムに箱の中から1枚取り出し、1度引いた数字は戻さない。
(4)引いた数字と一致した場合は穴を空ける。
(5)　(3)・(4)を繰り返す。


【パターンA】数字は35個、６×６のカードで真ん中はフリーの場合。

【パターンB】数字は109個　５×５のカードで真ん中はフリーの場合。


この２パターンでn回目の確率を求めたいのですが、
計算式はどのようになりますでしょうか。


どなたかお知恵をお貸しください。
宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/10/22 19:25

パターンAも５×５なら、パターンAとパターンBは数字の数が違うだけで、考え方は同じですから、パターンAの計算の仕方だけ説明します。

n回目までにビンゴしている確率をP(n)とすると、
n回目でビンゴする確率は、P(n)-P(n-1)となるので、P(n)を求めることにする。

P(1)=P(2)=P(3)=0　は明らか

n=4の場合は、ビンゴになるのは中央のフリーを含む縦横斜めの４通りあるので、
P(4)=4/(35C4)

n=5,6,7の場合は、ビンゴになるのは中央を含む４通りと、それ以外の８通りがあるので、
P(5)={4*(31C1)+8}/(35C5)
P(6)={4*(31C2)+8*(30C1)}/(35C6)
P(7)={4*(31C3)+8*(30C2)}/(35C7)

n=8の場合は、{4*(31C4)+8*(30C3)}/(35C8)　とすると、ビンゴが２列できている場合を重複して数えているので、それを引いて、
P(8)={4*(31C4)+8*(30C3)-30}/(35C8)

n=9,10の場合も同様に考えて
P(9)={4*(31C5)+8*(30C4)-30*(27C1)-24}/(35C9)
P(10)={4*(31C6)+8*(30C5)-30*(27C2)-24*(26C1)-12}/(35C10)

上記の式にある30,24,12という数は、
ビンゴになる12列から2列選ぶ選びかたは12C2=66通りあり、その内訳は、
8個の穴が空くのは30通り、
9個の穴が空くのは24通り、
10個の穴が空くのは12通り。

n=11の場合は、ビンゴが３列できる場合があるので、これを加減して、
P(11)={4*(31C7)+8*(30C6)-30*(27C3)-24*(26C2)-12*(25C1)+8}/(35C11)

n=12はさらに複雑になって、3列のビンゴで穴が12個になるのは何通りあるかを調べなければならず、これはそう簡単にはできないのでやめておきます。

「k列のビンゴで穴がm個できるのは何通りあるか」が全てのk,mに対して分かればP(n)は計算できますが、これは手作業で数えるのはちょっと無理で、パソコンの力を借りなければならないでしょう。

No.1 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2013/10/20 21:20

基本的にビンゴは７５までの数字があり、５×５のカードを使うのですけど。

それに左から１～１５、１５～３０・・・と数値も決まっているわけで。

パターンAは順次選ばれる数字は１～３５で、カードにも１～３５が必ずあるという事ですか？
ということは、ビンゴのようにきっちり数字の入る場所が決まっていないって事？
それに６×６で真ん中フリーって・・・４箇所フリー？

ちょっと回答する条件が正確にわからないと無理ですね。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。


ご指摘の通り、確かに通常のビンゴとは条件がかけ離れていました・・・
気づきませんでした。。。申し訳ございません。

パターンAは、６×６ではなく、５×５で数字は１～３５。
真ん中の１つはフリーで空いているとしてください。

また、どちらのパターンも、
数字は、全箇所にランダムで散りばめられているとしての確率としてお願いします。

再度質問しなおしたほうがいいかもしれませんが・・・補足でのお返事になりすみません。

補足日時：2013/10/21 19:25