ビンゴゲーム

(1)ビンゴカードの組み合わせは何通りか？
15×15×15×15×15＝759375通り
(2)一番早くリーチになる時は？

三回目
(3)一番早くビンゴになる時は？

四回目

では次の問題を解いて教えてください

(4)一番遅くビンゴになる時は何回目？

(5)リーチの最大は何本？

(6)一番早くあがれる場合は四回目ですが、全ての組み合わせを一枚ずつ使い行われたビンゴ大会で四回目にビンゴになる人は何人？

(7)ビンゴゲームにおいてビンゴになる平均回数は何回ですか？

以上お願いします

No.16 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2014/08/28 17:15

＞平均値はビンゴの偏差値が左右対象になると予想されるから

４回目でビンゴになる組み合わせは４通りで、確率は4/(75C4)=3.29*10^(-6)
７１回目でビンゴになる組み合わせは、７０回目でビンゴになっていない組み合わせを考えればいいから、反転・回転を考慮して、
(1) A1,B3,C5,D2,E4のパターンが８通り
(2) A1,B4,C5,D3,E2のパターンが８通り
(3) A1,B3,C4,D2,E5のパターンが４通り
(4) A1,B4,C5,D2,E3のパターンが４通り
確率は(8+8+4+4)/(75C70)=1.39*10^(-6)

このように、４回目でビンゴになる確率と７１回目でビンゴになる確率は違います。
とうぜん確率分布も左右対象にはなりません。

この回答へのお礼

なるほど？複雑なのね。とても難しいですね。そろそろベストアンサーを決めなきゃなりません。熱心に皆さん考えていただいたので皆さん全員にベストアンサーを差し上げたいのですが、それはかなわないので
最後までおつきあいいただいた
あなたにベストアンサーを進呈いたします。ありがとうございました

お礼日時：2014/09/01 23:07

No.15 回答者： nag0720 回答日時： 2014/08/27 15:36

(4)～(6)の答は出たようなので、(7)について。

P(n)をn回目までにビンゴになる確率とすると、
n回目でビンゴになる確率はP(n)-P(n-1)なので、ビンゴになる平均回数は、
Σ[n=1～75]n*{P(n)-P(n-1)}
で計算できます。

P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=0
P(72)=P(73)=P(74)=P(75)=1
はあきらかなので、P(4)～P(71)を求めればいい。

P(4)～P(7)は最大1本のビンゴができるので、
P(4)=4/(75C4)
P(5)={4*(71C1)+8}/(75C5)
P(6)={4*(71C2)+8*(70C1)}/(75C6)
P(7)={4*(71C3)+8*(70C2)}/(75C7)

P(8)～P(10)は最大2本のビンゴができるので、重複する分を差し引いて、
P(8)={4*(71C4)+8*(70C3)-30}/(75C8)
P(9)={4*(71C5)+8*(70C4)-30*(67C1)-24}/(75C9)
P(10)={4*(71C6)+8*(70C5)-30*(67C2)-24*(66C1)-12}/(75C10)

ちなみに、上記の4,8,30,24,12の数字は、
4：４個の穴で１本のビンゴができる組み合わせの数
8：５個の穴で１本のビンゴができる組み合わせの数
30：８個の穴で２本のビンゴができる組み合わせの数
24：９個の穴で２本のビンゴができる組み合わせの数
12：10個の穴で２本のビンゴができる組み合わせの数

P(11)はさらに複雑になって、最大3本のビンゴができるので、重複する分を加減する必要がありますが、
これ以上は手作業では難しいのでこのへんでやめておきます。
時間を１ヶ月ぐらい掛ければ求められるかもしれませんが、そんな気力もないのでパス。


なお、No.8で、
縦に(15P5)^4×15P4、横に75P75のマトリクス表を作って埋めれば、正しい解が得られます（数日かかる）
とありますが、その計算量はそんな生易しいものではありません。
人の一生のあいだ計算しても答は出てきませんし、たぶん地球が滅亡するまで計算しても終わらないでしょう。

この回答へのお礼

多分ですか。
平均値はビンゴの偏差値が左右対象になると予想されるから
最小四回
最大七十一回の
平均をとって
三十七回半で
ないでしょうか？
立証は複雑な計算が必要となるので困難ですが

お礼日時：2014/08/28 15:06

No.14 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/26 11:24

またまた間違えてしまった。

4回でビンゴになった時、横一列と斜めでビンゴになる人が同時に発生する。ので場合わけは縦一列と横斜めの2つだった。

この回答へのお礼

そうですよね。そこが複雑かつ困難なとこです。ご回答お待ちしております。

お礼日時：2014/08/26 22:00

No.13 回答者： comyuto 回答日時： 2014/08/25 22:43

面白い質問ですねー　

私もたまにトランプとかの確立求めようとしますが　途中で力尽きますｗ

(1)ビンゴカードの組み合わせ

計算式　15P5×15P5×15P4×15P5×15P5　
答え　552.446.474.061.128.648.601.600.000　

　　　552抒4464亥7406京1128兆6486億0160万0000通り

えげつないですねｗ


(2)1番早いリーチ　

最短でリーチになる時は　真ん中　必須で　縦横斜め　の4通り。

【式間違いがあり省きました】

(3)1番早いビンゴ
縦でビンゴの場合は31～45までの数字のみで上がれるのに対して　
横斜めの3通りは31～45以外の数字で上がれます。

【式間違いにより…】

(4)1番遅いビンゴ
70回目数字を呼ばれてもビンゴになっていない形が　ビンゴにならないギリギリの形です。
例）あいた場所・・・○

　　　○○○○
　　○○○　○
　　○　○○○
　　○○　○○
　　○○○○

これならビンゴにならないはずです。つまり71回目でビンゴが1番遅いですね。


(5)リーチの数
(4)の例では少し違いますが　形を変えれば　縦５　横５　斜め２　のリーチになると思いますよ。　なので最大１２個のリーチです。



【追記】
（6）の途中で色々間違っていたことに気付き　戦意喪失したので　間違ってる部分のみ省いて投稿させていただきます。　また暇な時にでも計算しようと思います。

この回答へのお礼

すごい！
ありがとうございます。

納得しました。

６は解析不可能かも知れませんが
よろしくお願いします。
私は四回であがれるパターンにおいての数字の組み合わせだと思うのですが、式がでてきません。

(7)は最短が４、最長が71のところから期待値は37.5回かなと単純に考えておりますがいかがでしょうか？

お礼日時：2014/08/25 23:46

No.12 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/25 17:31

再チャレンジ。

4個で誰かがビンゴになったとする。縦センターだった場合。同時にビンゴするのは残りの縦4列はなんでも良いから、4!*(15P5)^4のカードがビンゴ。横センターだった場合もおなじ。
さて斜めだった場合は、(14P4)^4*(15P4)*2。A1,B2,D4,E5で誰かがビンゴになったとするとそれ以外の場所の数値の場合の数を数える。同じ数値の組み合わせで逆斜めのカードもあるから2倍している。
答え4回でビンゴになる人数は0人または4!*(15P5)^4または(14P4)^4*(15P4)*2

この回答への補足

あーそうか！
意味がようやく理解できました。

私は異論ありません

正解だと思います
ありがとうございます

補足日時：2014/08/26 00:32

この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時：2014/08/28 15:07

No.11 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/25 16:57

ビンゴの仕組みを勘違いしてたわ。

聞いてみると数値の並び方にルールがあるのね。75P24通りじゃないのね。失礼しました。以前の回答は撤回します。

この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時：2014/08/28 15:08

No.10 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/25 16:51

全てのパターンのカードを1枚づつ使うのであればだよ、最初に選ばれた4つの数値が斜めに並んでいるカードがあるはず。

斜めに並ぶ順を考えれば4!個あるはず。同じ数値が逆斜めに並んでいるカードも存在するはず。同様にセンターを通る縦横列もね。だから4！＊4通りのカードがビンゴに必ずなる。これは4つの数値がどうであろうと同じ事。(同じ数値は選ばれないので)

この回答への補足

それがですね。ビンゴカードの場合には数字の置き場所が決まっているのですね。Ｂは１から１５まで
Ｉは１６から３０まで
Ｎは３１から４５まで
Ｇは４６から６０まで
Ｏは６１から７５まで
仮に四回とも真ん中のＮがコールされたらＮの縦目しかできないのですよ？
だからすべからく縦、横、斜めの人がＢＩＮＧＯという確率だけにとどまらず縦目だけで成立してしまうことも考慮しないとなりません

補足日時：2014/08/25 17:01

この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時：2014/08/28 15:08

No.9 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/25 12:30

(6)全てのパターンのカードが1枚づつ使われるのなら、4個の番号が選ばれたとき、それがセンターを通るラインに並ぶ場合の数4！＊4が必ずビンゴになる。

この回答への補足

そうではないのですよ。ビンゴカードの組み合わせは552シ4464ガイ7406京1128兆6486億0160万通りあるので一番早くあがれる四回のコールでビンゴになる人がこの通りにそって一枚ずつ使った場合に同時にビンゴになる人がたった四回でも多数出現するのです。その人数を調べたいのですが複雑なのは真ん中が四ますしかないのと数字の並び方によって
呼ばれる数字が特定できないので
計算不可能なのかなというところ

補足日時：2014/08/25 16:36

この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時：2014/08/28 15:09

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2014/08/25 08:24

#1です。

（１）のカードの種類の件、
手元のカードを見たら昇順だったのですが、
そのようなルールがないのなら、#3さんが正しいですね。

（６）（７）ですが、
計算はどうするか難しいですが、力技ならできます。
縦に（15P5）^4×15P4、横に75P75のマトリクス表を作って埋めれば、
正しい解が得られます。ただ、計算機でやっても、数日かかるのではないでしょうか。

７１回目を否定するには、反例をあげれば良いのですが、
５行５列をブロックできる出ていない目は、どうしても５個必要ですね。
（斜めは共通でブロックできます）
これは、どうやって数学的に説明するのかなあ。一般的にnを使って証明したいですよね。

この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時：2014/08/28 15:10

No.7 回答者： nag0720 回答日時： 2014/08/25 06:32

ちょっと訂正。

で、７１回目で残りの５個の数字を選んでもビンゴになります。
↓
で、７１回目で残りの５個のうちのどの数字を選んでもビンゴになります。

この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時：2014/08/28 15:11