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原点oから出発して数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら点Pは+1だけ移動し、裏が出たら−1だけ移動する。nを正の整数として以下の問いに答えよ。
(1)2n回目の移動で点Pが原点に戻る確率を求めよ。
(2)2n回目の移動で点Pが初めて原点に戻る確率を求め よ。


解説されてたのですが意味がわからず質問しました。どなたか教えていただけると嬉しいです

A 回答 (3件)

No.1の(2)すべて訂正します。



2)わかりやすいように、1回目に表が出た場合と、1回目に裏が出た場合とを別に考えます。

1回目に表が出たとします。
点Pが原点に戻るのは偶数回目ですから、偶数回目を考えます。

①2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2×1/2=1/4
2回目に点Pが原点に戻らない確率は、1/2×1/2=1/4

②4回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、2回目に点Pが原点に戻らず、3回目、4回目と続けて裏が出た場合で、1/4×1/2×1/2=(1/2)⁴
4回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点2の位置にいる確率は、3回目、4回目に表と裏が1度ずつ出た場合で、1/4×1/2=(1/2)³

③6回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、4回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点2の位置にいて、5回目、6回目と続けて裏が出た場合で、(1/2)³×1/2×1/2=(1/2)⁵
6回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点2の位置にいる確率は、5回目、6回目に表と裏が1度ずつ出た場合で、(1/2)³×1/2=(1/2)⁴

④8回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、6回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点2の位置にいて、7回目、8回目と続けて裏が出た場合で、(1/2)⁴×1/2×1/2=(1/2)⁶
8回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点2の位置にいる確率は、7回目、8回目に表と裏が1度ずつ出た場合で、(1/2)⁴×1/2=(1/2)⁵

以上から、2n回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、(1/2)^(n+2)

1回目に裏が出た場合も同様で、求める確率は、(1/2)^(n+2)

したがって、求める確率は、(1/2)^(n+2)×2=(1/2)^(n+1) (ただし、n≧2)
n=1のとき、すなわち、2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2
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この回答へのお礼

毎度毎度本当にありがとうございます!

お礼日時:2019/08/16 17:38

No.1訂正です。


最後間違えました。
2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2です。
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(1)2n回のうち、n回表、n回裏が出ればよい。


n個の表とn個の裏、合計2n個を並べると考えて、場合の数は、(2n)!/(n!)(n!) (通り)
表と裏を合わせて2n個並べる場合の総数は、2^(2n)=4ⁿ (通り)
したがって、求める確率は、(2n)!/{4ⁿ(n!)(n!)}

(2)わかりやすいように、1回目に表が出た場合と、1回目に裏が出た場合とを別に考えます。

1回目に表が出たとします。
点Pが原点に戻るのは偶数回目ですから、偶数回目を考えます。

①2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2×1/2=1/4
2回目に点Pが原点に戻らない確率は、1/2×1/2=1/4

②4回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、2回目に点Pが原点に戻らず、3回目、4回目と続けて裏が出た場合で、1/4×1/2×1/2=1/16
4回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×(1-1/4)=1/4×3/4

③6回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、4回目も点Pが原点に戻らず、5回目、6回目と続けて裏が出た場合で、1/4×3/4×1/2×1/2=3/64
6回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×3/4×(1-1/4)=1/4×(3/4)²

④8回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、6回目も点Pが原点に戻らず、7回目、8回目と続けて裏が出た場合で、1/4×(3/4)²×1/2×1/2=9/256
8回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×(3/4)²×3/4=1/4×(3/4)³

以上から、2n回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×(3/4)^(n-1)

2n回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、(2n-2)回目も点Pが原点に戻らず、(2n-1)回目、2
n回目と続けて裏が出た場合で、1/4×(3/4)^{(n-1)-1}×1/2×1/2=1/16×(3/4)^(n-2)

1回目に裏が出た場合も同様で、求める確率は、1/16×(3/4)^(n-2)

したがって、求める確率は、1/16×(3/4)^(n-2)×2=1/8×(3/4)^(n-2) (ただし、n≧2)
n=1のとき、すなわち、2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2×1/2=1/4
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