そこにいる確率。

点Aは数直線上を動く点だとします。

はじめは、数直線上の0の位置にいました。

サイコロを投げて、1か2が出ると、Aは今いるところから、+1だけ進みます。3か4が出ると、-1だけ進みます。5か6が出ると動きません。

サイコロは、n回ふられるとします。

そのとき、
Aが原点からプラス方向にxの距離だけ離れている確率はどのぐらいですか。
(xは整数、0≦x≦n)


また、n→∞のときは、
原点にいる確率は何かの値に収束しますか。
収束するなら、その値を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/30 15:22

「右へ1, -1, 0移動することが等確率(1/3)で生じる試行をn回やった結果、右にkのところに行く確率」P(n,k)が「n回中に右がa回、左がb回含まれる確率」T(n,a,b)が従う分布（三項分布）

　　T(n,a,b) = ((1/3)^n) (n!) / ((a!)(b!)((n - a - b)!))
を使って
　　S(n,k) = {(a,b) | a - b = k ∧ a ≧ 0 ∧ b ≧ 0 ∧ n ≧ a + b}
　　P(n,k) = Σ[(a,b)∈S(n,k)] T(n,a,b)
と表せる、ってことは理解できるでしょうかね。
　　P(n,k) = P(n,-k) = P(n,|k|)
なので、k≧0の場合だけ考えれば十分。このときa, bの範囲は
　　k ≦ a ≦ floor[(n - k)/2]
　　0 ≦ b ≦ n - floor[(n - k)/2]
（ここにfloor[x]は「xを超えない最大の整数」のこと。）
だから、
　　P(n,|k|) = Σ{a =|k| 〜 floor[(n - |k|)/2] (Σ{b = 0 ～ n - floor[(n - |k|)/2] T(n,a,b)))
とも書ける。これをいじくればもっと簡単な式になるに違いないが、めんどくさいばかりだからやらない。

　なお、これは「一次元単純ランダムウォーク」の確率過程に、「動かない」というのが入っているという話ですから、nが大きい時には正規分布の確率密度関数に近づく（「動かない」場合は関係ないので）。「原点にいる（回帰する）確率」の極限も検索すりゃすぐみつかります。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/30 22:59

( (1/3)u + (1/3) + (1/3)u^-1 )^n = Σ[x=-n..n] P(x) u^x

だねえ。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/30 14:50

1と2が出る事を a、3か4を b、5か6を c とします。

n=1 のとき　+1, 0, -1 となる確率は 全部 1/3 。
n=2 のとき +2 は 1/9, +1 は 2/9, 0 は 3/9, -1 は 2/9, -2 は 1/9 。
n=3 のとき +3 は 1/27, +2 は 3/27, +1 は 6/27, 0 は 4/9 。
・・・・・・・・・
n=n のときを 考えると、
x=+n は 全部が a ですから 1/3^n 。
x=+(n-1) は 1つだけ c のときですから n/3^n 。
x=+(n-2) は 2つ c のときか、1つ b のときですから (n+nC₂)/3^n 。
以下 同じ様に考えていく。

n→∞ のときは +n 又は -n の場所にいる確率は 0 に近い。
0 の場所にいることが 最も多い筈ですが、半数程度だと思いますので、
「収束」とは言えないのでは。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/30 14:30

「すべての場合」を数え上げて、そのうち「特定の場合」がいくつあるかを求めて計算します。

たとえば
・ｎ回すべてが「１か２」だったら「+n」の位置にいる
・ｎ回すべてが「３か４」だったら「-n」の位置にいる
ので、「すべての場合」は

①『目の出方は、n 回のうち「１か２」「３か４」「５か６」がそれぞれ何回ずつ出るか』ということで
　3^n とおり

②点Ａの位置は
　-n ～ +n の (2n + 1) とおり

ということです。

それぞれの①と②の関係を

・ｎ回のうち (n - 1) 回が「３か４」で、もう１回が「５か６」だったら「-n + 1」の位置にいる
・ｎ回のうち (n - 1) 回が「３か４」で、もう１回が「１か２」だったら「-n + 2」の位置にいる
・ｎ回のうち (n - 2) 回が「３か４」で、もう２回が「５か６」だったら「-n + 2」の位置にいる
・・・

のように調べ上げ、各々の②の位置に対する①の「出方の場合の数」を全体の「3^n」で割ったものが、その位置にいる確率になります。
　上の例でいえば
・「-n」の位置にいるのは1ケースのみ（すべてが「３か４」）
・「-n + 1」の位置にいるのは nC1 ケース（「１か２」が何回目に出るかで「nC1 とおり」の場合がある）、
・「-n + 2」の位置にいるのは、『もう１回が「１か２」の nC1 ケース』と『もう２回が「５か６」の nC2 ケース』の和
といった具合に。

その確率分布は、基本は「二項分布」ですが、n を大きくしていくと「0 を平均とする正規分布に近づいていくでしょう。
そのときの「期待値」は「0」です。
しかし「0 にいる確率が１になる」ということではありません。どんな試行をしても「必ず 0 になる」「0 以外にはならない」ということはあり得ませんので。必ずある程度の幅を持った「確率分布」になります。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/05/30 13:44

1-6の出る確率は、全く同じなので、

1or2、3or4、5or6の出る確率も全く同じです。

なので、
> n→∞のときは、原点にいる確率は
100%になります。