正五角形の頂点を反時計回りにabcdeとする。二つの動点r、wが、rは頂点aを、w頂点cを出発して次

正五角形の頂点を反時計回りにabcdeとする。二つの動点r、wが、rは頂点aを、w頂点cを出発して次の手順を繰り返し、この五角形の頂点の上を進む。
手順:赤いサイコロと白いサイコロを一回ずつ投げて、Rは赤いサイコロの目の出た目だけ反時計回りに進み、Wは白いサイコロに出た目だけ反時計回りに進む。
(1)操作をn回行ったあとに初めてRとWが同じ頂点にある確率を求めよ
(2)n回の操作のあとrとwが同じ頂点にあるのが2回目である確率を求めよ。

この問題の”初めて“のとこでつまづいてて遷移図が書けません！方針をお願いします！

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/07/29 19:55

（ⅰ）n=1 の場合について考えます。

2個のサイコロの目の出方６×６＝36（通り）の場合 について調べると、操作後、
RとWが同じ頂点にある確率は 7/36
RとWが同じ頂点にない確率は 1－7/36=29/36

（ⅱ）n=2 の場合について考えます。
操作を２回行ったあとに初めてRとWが同じ頂点にあるので、
１回目の操作後はRとWは異なる頂点にあります。
その確率は 29/36
次の操作後にRとWが同じ頂点にある確率は、
１回目の操作後のRとWの位置はいろいろですが、
その位置に関係なく 7/36・・・(＊)
したがって、求める確率は、(29/36)×(7/36)

（ⅲ）n=3 の場合も同様に考えて、
求める確率は、(29/36)²×(7/36)

このように考えれば、この問題は解けると思いますが、
(＊)については、（ⅰ）の36通りの場合をよくみると分かります。
Rを先に進めてからWを進めることにします。
Rが３つ進んだ場合、進行方向に対してRはWの１つ先にきます。
このとき、Wは1つ進んだ場合と6つ進んだ場合、Rと同じ頂点にきます。
これは頂点の数が５でサイコロの目が６までだからです。
よって、Rのサイコロの目が3の場合のときだけ条件を満たす場合が2通りあり、
それ以外の目のときは条件を満たす場合は1通りです。
これにより求める確率は、(2+5)/36=7/36 となります。

RとWの位置がどのような場合でも、
Rを進めたときにWの1つ先にくるサイコロの目が1つあります。
このときだけ条件を満たす場合は2通り、それ以外の目のときは1通りです。
したがって、（＊）が言えます。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/22 21:26

> 方針1の説明をもう少し詳しく

「RとWが同じ頂点にある」とは両者のキョリが0だということ。それが0かどうかだけに興味があって、頂点abcdeなんて区別は何の意味もない。
　ですから、「Rを基準にして、Wがどれだけマエ（あるいはウシロ）にあるか」だけ考えれば良い。（もちろん、Wを基準にしても同じこと。）

　ついでに。「初めて」というのは、確率を計算するときの常套手段で：「キョリが0という事象が、k回目までに一度も生じない確率」Q(k)を考えれば扱える。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/22 15:45

(方針1) RとWの相対位置だけが問題なんだから、常にRを基準にして、Wの位置だけを考えれば十分。

(方針2) Wの位置をベクトルで表し、出発時点での位置をベクトルw、その第k成分をw[k]と書くことにする。WはRより2つ進んだところから出発するんだから、
　　w[k] = if k=3 then 1 else 0
である。遷移行列をTとして
　　((T^n)W)[1]
が幾らになるかを計算すればよろしい。
(方針3) 白のサイコロの目をS、赤のサイコロの目をAとすると、差 X = (S - A)に従ってWが進む。確率変数Xは -5 〜 5 の11通りの値を取るけれど、Wがどれだけ進むかは(X mod 5)であり、すなわち0〜4 の5通りしかない。その確率分布は（≡を「mod 5で合同」のことだとして）
　　P(X ≡ 0) = P(X∈{-5,0,5})
　　P(X ≡ 1) = P(X∈{-4,1})
　　P(X ≡ 2) = P(X∈{-3,2})
　　P(X ≡ 3) = P(X ≡ 2)
　　P(X ≡ 4) = P(X ≡ 1)
これらは簡単に計算できるでしょう。
だから、遷移行列Tの要素i,jをT[i,j]と書くことにすると
　　T[i,j] = P(X ≡ |i - j|)
という行列である。
(方針4) Tの規則性を利用して T = U + V の形にうまく分解すると計算は簡単。

この回答へのお礼

方針1の説明をもう少し詳しくお願いしたいです！

お礼日時：2022/07/22 19:34