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かなり簡単な疑問かもしれませんが、考えてもわからなかったので…
6面サイコロの目の期待値は3.5である理由と(なぜ半分の3でない理由)

サイコロの面の数が7.8.9.10と増えていった場合に、
サイコロの面を Y とすると、Y÷2 + 0.5 = サイコロ目の期待値

となる理由がわかる方いたら教えて下さい。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    それと、サイコロの目が増えて行く際の全体の和の計算式の書き方も
    できれば教えていただけるとありがたいです。
    (y - 1)+ (Y - 2) + (Y - 3) … と永遠に面が増えるごと書いていかなくてもいい計算式の書き方です。

    ちなみに高校中退です…! ^_^

      補足日時:2018/08/10 23:34
教えて!goo グレード

A 回答 (7件)

No.2です。

「お礼」に書かれたことについて。

>(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)   ← これを計算式で単純化とかできたりしますでしょうか。

これは
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
= (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4)
とペアリングすると、「最初と最後を足した数」を「項の数の 1/2」倍すればよいことに気付きませんか?
これを式で書くと、1~n (項の数:n)であれば
 (1 + n) × n/2 = (1/2)n(n + 1)

これは「項の数」が偶数の場合ですが、もし奇数であれば
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
= (1 + 7) + (2 +6) + (3 + 5) + 4
で、「最初と最後を足した数」を「(項の数 - 1 )の 1/2」倍して、「真ん中の数 = 最初と最後を足した数の半分」を加えればよいことになります。
これを式で書くと
 (1 + n) × (n - 1)/2 + (1 + n)/2
= (1/2)(n + 1)(n - 1) + (1/2)(n + 1)
= (1/2)n(n + 1)
となって、偶数の場合と同じになります。

つまり、項数が偶数であっても奇数であっても、1~n の合計 Sn は
 Sn = (1/2)n(n + 1)
です。
(これが #5 さんが書かれている式です)
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一言だけコメント



>なるほど、0からでなく1からなので 0.5が余分に増えてるように見えたのですね。
「0.5余分」ではなく「1余分」ですよ。

0から5なら、平均は2.5ですよ。

おまけ。
1と6、2と5、3と4の3組に分けて考えてみると、
どの組も平均は3.5なので、全体の平均、つまり期待値は3.5になる
という仕掛けです。
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>(y - 1)+ (Y - 2) + (Y - 3) … と永遠に面が増えるごと


>書いていかなくてもいい計算式の書き方です。

意味がわかりませんが
S=1+2+3+・・・+n
は等差数列といって簡単。足す順番を逆に書いても勿論和は変わらない。
S=n+(n-1)+・・・+1
これを足すと
S+S=2S=(n+1)+(n+1)+・・・(n+1)
右辺のn+1は全部でn個あるから
2S=n(n+1)
S=n(n+1)/2

n=6だと、S=6・7/2=42/2=21
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書き方は∑記号を使えばよいのでは


Y-1
∑ (y-i) = (Y-0)+(Y-1)+(Y-2)+・・・+(Y-(Y-1)) =Y+(Y-1)+(Y-2)+・・・+1
i=0
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1から6の「平均」が期待値。

サイコロの目にOは無いので、
0~6の半分にはならない。1~6の真ん中。
(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>1から6の「平均」が期待値。サイコロの目にOは無いので、
0~6の半分にはならない。1~6の真ん中。

なるほど、0からでなく1からなので 0.5が余分に増えてるように見えたのですね。

お礼日時:2018/08/11 02:07

「面の数」は関係ありません。

そこに「いくつの数が書かれているか」です。

「書かれている数の平均値」が「出る数」の期待値です。

テストで、「英語 55点」「数学 35点」「国語60点」の平均が
 (55 + 35 + 60) ÷ 3 = 50
(3で割るのは、科目が3つだから)
で計算するように、

サイコロの目1~6の平均値は
 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ÷ 6 = 3.5
(6で割るのは、面の数が6つだから)
で計算します。

サイコロの6つの面に、5~10 の数が書かれていたら、出る目の期待値(6つの面の平均値)は
 (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) ÷ 6 = 7.5
です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>面の数」は関係ありません。そこに「いくつの数が書かれているか」です。
「書かれている数の平均値」が「出る数」の期待値です。

たしかに、サイコロである事にとらわてました。


(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)   ← これを計算式で単純化とかできたりしますでしょうか。

お礼日時:2018/08/11 01:54

でる目の数字を全部足して、6面で割ってください。

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この回答へのお礼

分りやすくありがとうございます。

お礼日時:2018/08/11 01:55

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