No.1
- 回答日時:
サイコロを独立に6回振れば、毎回各目の出る確率が 1/6 ずつの事象が繰り返されます。
特定の「目」に着目すれば、毎回
・出る確率 1/6
・でない確率 5/6
の試行を6回繰り返すことになります。
これは「その目が出か出ないか」「くじが当たるか外れるか」の「Yes か No か」の相反事象の出現回数ということであり、その回数はいわゆる「二項分布」に従います。
確率 p の事象を、n 回試行して、r 回出現する確率は、数学的に
P(n, r) = nCr × p^r × (1 - p)^(n - r)
と記述できます。
詳しくは「二項分布」で調べてください。たとえば
↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html
その場合には
・出る回数の期待値:E = np
・出る回数の分散:V = np(1 - p)
となります。
↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/6982.html
サイコロの場合、特定の「目」(たとえば「1」とか「6」)であれば
p = 1/6
降る回数を n として求めてください。
同様に、「偶数」(p=1/2)とか「5以上」(p=1/3)なども同じように計算できます。
お答えいただきありがとうございます。各目の出る確率は 1/6 だから6回振るときの各目の出る期待値は 6×1/6=1 ですね。これから、目の種類の個数はどうやって求めるのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
「お礼」に書かれたことについて。>各目の出る確率は 1/6 だから6回振るときの各目の出る期待値は 6×1/6=1 ですね。これから、目の種類の個数はどうやって求めるのでしょうか?
6回振るときには、全ての目の「出る回数1回の期待値」が「1」になるということです。
・「1」の目が出る回数の期待値:1回
・「2」の目が出る回数の期待値:1回
・「3」の目が出る回数の期待値:1回
・「4」の目が出る回数の期待値:1回
・「5」の目が出る回数の期待値:1回
・「6」の目が出る回数の期待値:1回
同様に
・「偶数」の目が出る回数の期待値:3回
・「5以上」の目が出る回数の期待値:2回
などなど。
振る回数が 12回なら
・「1」の目が出る回数の期待値:2回
・「2」の目が出る回数の期待値:2回
・「3」の目が出る回数の期待値:2回
・「4」の目が出る回数の期待値:2回
・「5」の目が出る回数の期待値:2回
・「6」の目が出る回数の期待値:2回
・「偶数」の目が出る回数の期待値:6回
・「5以上」の目が出る回数の期待値:4回
になります。
No.3
- 回答日時:
サイコロの出た目を、1回目から6回目まで一列に並べて記録しましょう。
記録されるパターンは 6^6 通りで、それらが等確率で現れます。
出る目の種類が1個なのは、そのうちの (6C1)(1^6) 通り。
出る目の種類が2個以下なのは、そのうちの (6C2)(2^6) 通り。
出る目の種類が3個以下なのは、そのうちの (6C3)(3^6) 通り。
出る目の種類が4個以下なのは、そのうちの (6C4)(4^6) 通り。
出る目の種類が5個以下なのは、そのうちの (6C5)(5^6) 通り。
出る目の種類が6個以下なのは、そのうちの (6C6)(6^6) 通り。
出る目の種類が2個なのは、 (6C2)(2^6) - (6C1)(1^6) 通り。
出る目の種類が3個なのは、 (6C3)(3^6) - (6C2)(2^6) 通り。
出る目の種類が4個なのは、 (6C4)(4^6) - (6C3)(3^6) 通り。
出る目の種類が5個なのは、 (6C5)(5^6) - (6C4)(4^6) 通り。
出る目の種類が6個なのは、 (6C6)(6^6) - (6C5)(5^6) 通り。
出る目の種類が1個になる確率は、 (6C1)(1^6)/6^6。
出る目の種類が2個になる確率は、 { (6C2)(2^6) - (6C1)(1^6) }/6^6。
出る目の種類が3個になる確率は、 { (6C3)(3^6) - (6C2)(2^6) }/6^6。
出る目の種類が4個になる確率は、 { (6C4)(4^6) - (6C3)(3^6) }/6^6。
出る目の種類が5個になる確率は、 { (6C5)(5^6) - (6C4)(4^6) }/6^6。
出る目の種類が6個になる確率は、 { (6C6)(6^6) - (6C5)(5^6) }/6^6。
出る目の種類の個数の期待値は、
1・(6C1)(1^6)/6^6
+ 2・{ (6C2)(2^6) - (6C1)(1^6) }/6^6
+ 3・{ (6C3)(3^6) - (6C2)(2^6) }/6^6
+ 4・{ (6C4)(4^6) - (6C3)(3^6) }/6^6
+ 5・{ (6C5)(5^6) - (6C4)(4^6) }/6^6
+ 6・{ (6C6)(6^6) - (6C5)(5^6) }/6^6
= { (1 - 2)・(6C1)(1^6)
+ (2 - 3)・(6C2)(2^6)
+ (3 - 4)・(6C3)(3^6)
+ (4 - 5)・(6C4)(4^6)
+ (5 - 6)・(6C5)(5^6)
+ 6・(6C6)(6^6) }/6^6
= { - 6(1^6)
- 15(2^6)
- 20(3^6)
- 15(4^6)
- 6(5^6)
+ 6(6^6) }/6^6
= 2275/972
≒ 2.34…
だいたい 2個ちょっとくらい。
No.5
- 回答日時:
単純総当たりでチェックしてみました。
def numkind(ss):
num=0
a=[]
for s in ss:
if not (s in a):
a.append(s)
num +=1
return num
sss = ((x1,x2,x3,x4,x5,x6)
for x1 in range(1,7)
for x2 in range(1,7)
for x3 in range(1,7)
for x4 in range(1,7)
for x5 in range(1,7)
for x6 in range(1,7)
)
num=0
for ss in sss:
num += numkind(ss)
print(num/6**6)
結果
3.9906121399176953
[Program finished]
No.7
- 回答日時:
r種類が等確率で出る試行をn回おこなって、r種類中の何種類が現れるかの期待値E(r,n)。
現れるのがk種類である場合の数をv(r,n,k)とする。
v(r,n,1) = (rC1) q(n,1)
ここにq(n,1)は1ばっかり並べたやつの場合の数。
q(n,1) = 1
そして
v(r,n,2) = (rC2) q(n,2)
ここにq(n,2)は1と2を並べたやつで、両方が入っているやつの場合の数。
q(n,2) = 2^n - (2C1) q(n,1)
一般に
v(r,n,k) = (rCk) q(n,k)
q(n,k) = k^n - Σ{i=1~k-1} (kCi)q(n,i)
そして求める期待値は
E(r,n) = (1/(r^n)) Σ{k=1~r} k v(r,n,k)
= (1/(r^n)) Σ{k=1~r} k (rCk) q(n,k)
ご質問はr=n=6の場合。Excelで計算してみると
E(6,6) = 3.99061214
qの一般項が綺麗に出せないかについては、やってません。
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
樹形図で考えてみました。
現在 n 種類の目が有る場合ひとつに対してサイコロを一回振ると
場合は以下のように分裂して増えます。
n = 1 → n = 1 1個、n=2 5個に場合が分かれる。
n = 2 → n = 2 2個、n=3 4個に場合が分かれる。
n = 3 → n = 3 3個、n=4 3個に場合が分かれる。
n = 4 → n = 4 4個、n=5 2個に場合が分かれる。
n = 5 → n = 5 5個、n=6 1個に場合が分かれる。
これを使って場合の数を数えればよいので
まず、最初のさいころを振った時点の全ての場合は
n=1 6個
これを樹形図の出発点にして
2個目のさいころを振ると
n=1 6個 (6×1)
n=2 30個(6×5)
3個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 90個(6×5 + 30 ×2)
n=3 120個(30×4)
4個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 210個(6×5 + 90 ×2)
n=3 720個(90×4 + 120×3)
n=4 360個(120×3)
5個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 450個(6×5 + 210 ×2)
n=3 3000個(210×4 + 720×3)
n=4 3600個(720×3 + 360×4)
n=5 720個(360×2)
6個目のさいころを振ると
n=1 6個(6×1)
n=2 930個(6×5 + 450 ×2)
n=3 10800個(450×4 + 3000×3)
n=4 23400個(3000×3 + 3600×4)
n=5 10800個(3600×2 + 720×5)
n=6 720個(720×1)
以上の全パターンの目の種類の数(n)の平均値を求めると
(1 × 6 + 2 × 930 + 3 × 10800 + 4 × 23400 + 5 × 10800 + 6 × 720) ÷ (6+930+10800+23400+10800+720)=3.9906121399
これだと計算がだいぶ楽ですね。手計算で可能。
No.10
- 回答日時:
類題を探していただきありがとうございます。
4回振るときの出る目の種類の期待値は 6{1-(5/6)^4}=671/216 ですね。
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