n個のサイコロを同時に投げた時その積が3の倍数になる確率を求めなさい 解説おねがいします

n個のサイコロを同時に投げた時その積が3の倍数になる確率を求めなさい

解説おねがいします

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/09/02 07:52

まず、積が3の倍数になるということは、n個のサイコロの中に、少なくとも1つ、3か6があるということ。

で、「少なくとも1つ、3か6がある」ということは、「3か6が1つの場合」、「3か6が2つの場合」、「3か6が3つの場合」、「3か6が4つの場合」など、
場合分けをしなければならないので、ものすごくめんどくさい。

なので、このような「少なくとも1つ」という問題は、「そうでない場合の確率」を求めて、1から引けばいい。
（これを「余事象の活用」という）

この場合、「そうでない場合の確率」は、「n個全てが、1か2か4か5」なので、1個が1か2か4か5である確率が4/6=2/3であることから、n個全ての
場合は、(2/3)^nである。

よって、求める答は、1-(2/3)^nとなる。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/09/01 13:26

n個のサイコロを同時に投げた時その積が3の倍数になるのは

ｎ個の中に、ひとつでも3または６の目が含まれる場合
反対に積が3の倍数にならないのは、目のすべてが３の倍数でない（1,2,4,5)である場合
ここで、確率の性質から
(n個のサイコロを同時に投げた時その積が3の倍数になる確率)+(n個のサイコロの積が3の倍数にならない確率)=1
であるから、考え方が分かりやすい（n個のサイコロの積が3の倍数にならない確率）を求める。
サイコロ１このとき・・・目の出方の総数:6通り ,目のすべてが３の倍数でない:4通り
サイコロ２このとき・・・目の出方の総数:6²通り ,目のすべてが３の倍数でない:4²通り
サイコロ３このとき・・・目の出方の総数:6³通り ,目のすべてが３の倍数でない:4³通り
・
・
・
サイコロnこのとき・・・目の出方の総数:6^n通り ,目のすべてが３の倍数でない:4^n通り
であるから
(n個のサイコロの積が3の倍数にならない確率)=4^n/6^n=(4/6)^n=(2/3)^n
よって
(n個のサイコロを同時に投げた時その積が3の倍数になる確率)+(2/3)^n=1
⇔(n個のサイコロを同時に投げた時その積が3の倍数になる確率)=1-(2/3)^n・・・答え
=(3^n/3^n)-(2^n/3^n)
=(3^n-2^n)/3^n・・・答え
（ちなみに3^n-2^nは更に因数分解も可能：必要ならば因数分解する！）