すごろくの確率の問題なのですが

Question

教えてください。
ｎ桝目に自分の駒が止まる確率を求めたいのですが。
桝には一回休みとか、どこかへ戻るとかの限定条件はなし。
さいころは普通の１から６までのさいころを１個使用。
ｎ＝1なら1/6ですよね。
ｎ＝2は7/36、
ｎ＝3は…

問題は7桝目以降。
特にｎが∞になる時にいくつになるのかが知りたいのですが。感覚的には1/2かなと。

yuusukekyouju · Accepted Answer

漸化式についてはdaisangennさんの式が正しいと思います。
ｎマス目にとまるということは、その直前はｎ-1マス目からｎ-6マス目のどれかにとまるということです。
ですからたとえばｎ-6マス目にとまり、その後１と５が出た場合もｎマス目にとまります。これはｎ-6から1マス進んだｎ-5マスの確率で計算されているのでNO1の回答に対する疑念は晴らされるのではないですか。
　
漸化式について
P(ｎ+6）＝[P(n+5)+P(n+4）+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)]×1/6
P(ｎ+5）＝[P(n+4）+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)+P(ｎ-1）]×1/6
これを
P(ｎ+1）＝[P(n）+P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)+P(ｎ-5）]×1/6
まで合計して整理すると
P(ｎ+6）+P(n+5)×5/6+P(n+4）×4/6+P(n+3)×3/6+P(n+2)×2/6+P(n+1)×1/6＝P(ｎ）+P(n-1)×5/6+P(n-2）×4/6+P(n-3)×3/6+P(n-4)×2/6+P(n-5)×1/6

ｎの値が6個前の値から計算できます。
ちなみにｎが6の倍数の場合は
P(6）+P(5)×5/6+P(4）×4/6+P(3)×3/6+P(2)×2/6+P(1)×1/6＝1となります。
nが6の倍数あまり1の場合も1となります。
あまりが2から5の場合も1となるとおもいますが、確認していません。
漸化式が収束すると考えれば、
P(ｎ+6）+P(n+5)×5/6+P(n+4）×4/6+P(n+3)×3/6+P(n+2)×2/6+P(n+1)×1/6
＝P(n+6)×21/6
＝1となり
P(n+6)＝6/21＝2/7となります。

またサイコロの目のでる期待値は1から6だから3.5となります。ｎが無限に大きくなればどのマス目でとまる確率もひとしくなるので確率は1/3.5つまり2/7ではないですか。

gonta_goma · Answer

面白そうな問題で、簡単な方法が無いかどうかずっと考えてました。

N回サイコロを振った場合、サイコロを振って出る目の期待値は3.5なので、駒の停止位置の期待値は3.5N枡目となります。
3.5N枡のうちで、駒が停止した枡の数は、サイコロを振った回数であるNになります。
よって、任意の升目に駒が停止する確率は、N/3.5N＝2/7になる。
結論は他の方のと同じになりますが、この考え方、正しいですかね。いまいち自身が無いのですが。

upsilon4s · Answer

> 実質、後戻りできないわけですから、その時点で確率は決定され、
> それ以降振ったさいころの目が何であろうと影響されないなと。
それ以降振ったさいころの目というか、回数には影響されそうな気がします。

面白い問題だと思ったので何か面白い結果を出したいのですが…。

upsilon4s · Answer

> そんな中すみません。 
とんでもない。
質問者さんあってのものですから
そのように感じられたのでしたら失礼しました。


私が P(1) = 1/6 があやしいのではと言っている
P(1) というものをもう少し具体的に書くと
さいころをＮ回振った後に１度でもｎ桝目に
止まった確率を　P(N,n)　で表すとして
　P(N,1) ≠ 1/6
ではないかということです。

実際に N = 2,3,4 は調べましたが
　P(N,1) = 1/(6N)
になっています。

そして、確率としての極限値は
N → ∞ としたときに
十分大きなｎについて
　P(N,n)
が収束する値になると思いますが、
当然これだと分布が無限に広がっているので
　P(N,n) →　0
となってしまい面白い結果は得られません。

極限値がいくらになるかを置いておくにしても
P(1) = 1/6 がさいころを振る回数 N によらないのは
みなさんどのようにして導かれたのでしょうか？
私が言うところの　P(N,1) とは違うものでしょうか？


それから、No.14 で ryn さんも指摘しておられますが、
> ｎ桝目に達した時点、 
> もしくはそれを越えてしまった時点で行動は終わりになりますが。 
というように振る回数ｎを固定せずに
どこかで振るのをやめるなら
毎回振った後、確率 q で次も振るかどうかを決めるとして
　P(n,q)
あるいは、振る回数の最大値を N として
　P(N,n,q)
のようなものを考えないといけないのではないかと思います。

ryn · Answer

> 実際にはｎ桝目に達した時点、
> もしくはそれを越えてしまった時点で行動は終わりになりますが。 
この条件はちょっと困ったことになりません？

例えば、３回ふって（３，４，２）と出て９桝目に
到達した場合というので考えてみると
２回ふった時点の７桝目で行動を終えずに
３回目で終えるといったところで。

upsilon4s · Answer

確かに確率はある事象と別の事象との間の
起こりやすさの相対関係がわかればよいので
和が１になるように規格化する必要はないと思います。

> 「確率の和が１」にこだわる理由がなくなってしまうと思います。
これと同じ程度に 2/7 という値にも余り意味がないことにはならないでしょうか？
本質的に十分大きなｎで P(n+1):P(n) = 1:1 、
つまり収束しているということを意味しているだけのような気がします。


ただ、どちらかというと最も気になるのは
　P(1) = 1/6
がどのようにして導かれたのかということです。

今までの議論において漸化式は正しいと思いますが、
P(1) ～ P(6) の値に少し疑問があります。

kony0 · Answer

私の解釈としては、
「いろんなパスがあるなかで、それを寄せ集めたときにｎ枡目をとおるパスの割合」
を求めている問題と解釈し、
#1さんの漸化式がそれを的確に定式化し、
私はExcelでそれを求めた・・・というものです。

ということは、#8さんの解釈であり、#11さんが２つあげられているうちの２つめの解釈そのものですね。

まわりくどい言い方をすれば、「ｎ枡目に止まらずにまたいでそれ以降の桝目に行ってしまう事象」の余事象を捉えようとしている・・・ということになります。

確かに特定の歩数を決めてしまえば（#11さんの１つめの考え方）、全桝目にいる確率を考えた全確率は１になるのでしょうが（各ｎに対して、排他的に全事象を埋め尽くしているので）、この問題文でそう考える理由が乏しいと思います。

さいころが２→４→…と出れば、１つの思考に対して、２桝目、６桝目、…を通っていくわけであり、P(2)とP(6)を排他的に考えることができません。その時点で、「確率の和が１」にこだわる理由がなくなってしまうと思います。

私は、自分の捉えた解釈以外この問題の読み取り方が思いつかないため、なぜ「確率の和が１」になることにこだわられるのか、すごく気になります。

upsilon4s · Answer

見ていると合計が１にならないまま
話が進んでいることがすごく気になります。

P(1) ≠ 0 ということになっていそうなので
今回のご質問は
「Ｎ回試行した後にｎ桝目に止まっている確率は？」
ということではなくて、No.8 で ryn さんが仰られているように
「無限回さいころを振ったときに 
ｎ桝目に止まったことがある確率は？」
ということでいいのでしょうか？

もし、前者であればＮ回試行後の分布は
　Ｎ≦ｎ≦６Ｎ
ですので、Ｎ≧２において P(1) = 0 です。

また、後者であればＮ回試行後の P(1) は
　P(1) = 1/(6N)
になると思います。

どちらにも当てはまらない P(1) = 1/6 や
それを用いて導かれた極限値 2/7 の値が
どういった意味を持っていて
妥当性のある値なのかがあやしいような気がします。


それとも、私の挙げた２つの問題とは違う解釈で
みなさん回答されているのでしょうか？

できれば質問者の crystalsnow さんに
何の確率を求めようとしているのかを
補足していただけるとサイト的にもよいのではないかと思います。

ryn · Answer

> ｎマス目にとまるということは、その直前は
> ｎ-1マス目からｎ-6マス目のどれかにとまるということです。
なるほど。
たしかにそうですね。

P(n)=(1/6){ P(n-6) + P(n-5) + P(n-4) + P(n-3) + P(n-2) + P(n-1) }
さえ与えられれば余りでの場合わけは考えなくても収束値は求まります。

十分大きくｎを取り
　P(7) = (1/6){ P(6) + … + P(1) }
　P(8) = (1/6){ P(7) + … + P(2) }
　　　：
　P(n) = (1/6){ P(n-1) + … + P(n-6) }
を辺々加えると
　P(7) + … + P(n) = (1/6){ P(1) + 2P(2) + … + 6P(6) }
　　　　　　　　　　　　+ P(7) + … + P(n-6)
　　　　　　　　　　　　+ (1/6){ 5P(n-5) + 4P(n-4) + … + P(n-1) }
⇔P(n-5) + … + P(n) = (1/6){ P(1) + 2P(2) + … + 6P(6) }
　　　　　　　　　　　　+ (1/6){ 5P(n-5) + 4P(n-4) + … + P(n-1) }
となります。

ここで、ｎが大きいとき
　P(n) → P
とすると
　6P = (1/6){ P(1) + 2P(2) + … + 6P(6) } + (15/6)P
⇔(21/6)P = 1
⇔P = 2/7
が得られます。

ryn · Answer

求める確率は無限回さいころを振ったときに
ｎ桝目に止まったことがある確率という流れのようですね。

そうであれば、No.1 の補足で crystalsnow さんが書かれているように
(n - 6)桝目に止まったあと、１回の試行の後に
ｎ桝目に行かなければならないという制限はありません。

具体的に P(7) は
　P(7) = (1/6)P(6) + (7/6^2)*P(5) + … + (7^5/6^6)*P(1)
一般にｎ≧ 7 における漸化式は
　P(n) = (1/6)*P(n-1) + (7/6^2)*P(n-2) + … + 〇P(2) + △P(1)
のようになるのではないでしょうか。

ここで
　P(n) = P(1)P(n-1) + P(2)P(n-2) + … + P(n-1)P(1)
と書きたいところですが、
ΣP(i) の無限和が発散しているのが気になるので
とりあえず、ｎに止まったことがある場合の数を a(n) として
　a(n) = a(1)a(n-1) + a(2)a(n-2) + … + a(n-1)a(1)
　　　　= Σa(i)a(n-i)
と書いて、求める確率 P(n) は
　P(n) = Σa(i)a(n-i)/Σa(j)
となるのではないでしょうか？
ここで分子は 1≦i≦n-1 、分母は 1≦j＜∞ の和です。

すごろくの確率の問題なのですが

漸化式についてはdaisangennさんの式が正しいと思います。

面白そうな問題で、簡単な方法が無いかどうかずっと考えてました。

> 実質、後戻りできないわけですから、その時点で確率は決定され、

この回答への補足

> そんな中すみません。

> 実際にはｎ桝目に達した時点、

この回答への補足

確かに確率はある事象と別の事象との間の

この回答への補足

私の解釈としては、

この回答への補足

見ていると合計が１にならないまま

この回答への補足

> ｎマス目にとまるということは、その直前は

求める確率は無限回さいころを振ったときに

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