確率の問題を教えてください

以下の確率の問題を教えてください。問は2問です。
病気の場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（感度） 0.9
病気でない場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（偽陽性率） 0.2
ある集団のひとが、その病気である確率が 0.1 とする。
検査で異常が出た時に、病気である（条件つき）確率（陽性的中率）は 3分の1
いま、別の集団で、その病気である確率が 0.25 とする。
この集団で同じ検査をした時の陽性的中率を求めよ。
ただし、感度（0.9）・偽陽性率（0.2）は変わらないとする。


病気の場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（感度） 0.9
病気でない場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（偽陽性率） 0.2
ある集団のひとが、その病気である確率が 0.1 とする。このとき、検査で異常が出た時に病気である確率（陽性的中率）を 3分の2以上 にするには、病気でない場合に検査で異常が出る確率（偽陽性率）がいくつ以下になるように検査を改良すれば良いか。
その値（許される偽陽性率の上限）を求めよ。
但し、この改良によって、病気の場合に検査で異常が出る確率（感度）は 0.9 のままで、この集団のひとが病気である確率も 0.1 で変化がないとする

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/21 16:36

公衆衛生学の宿題？

基本的に陽性者の中の有病者の数を数えるだけなので
それぞれの「率」の意味を正確にしっていれば
誰でも計算できます。教科書にも式が載ってます。

有病率が下がると陽性的中率が下がり、
それを改善するには特異度を上げる(偽陽性率を下げる)
のが有効

ということを実感してもらうのがこの問題の目的なので、
自分でいろんな数字で体験するのが肝要。

人にやってもらってはいけません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/21 15:10

「公式で一発で求める」などと考えずに、具体的な数値で順を追って考えていけばよいです。

（前半）たとえば「ある集団」を１万人の集団としましょう。
「その病気である確率が 0.1」なので
　罹患者：1000人
　正常者：9000人
です。
「病気の場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（感度） 0.9」なので
　罹患者：検査で陽性と判定：1000 × 0.9 = 900人
　　　　　残りの 100人は誤って「陰性」と判定される。
「病気でない場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（偽陽性率） 0.2」なので
　正常者：検査で誤って陽性と判定：9000 × 0.2 = 1800人
　　　　　残りの 7200人は正しく「陰性」と判定される。

以上より、「陽性」と判定された「2700人」のうち、真の罹患者は 900人なので、その陽性的中率は
　900/2700 = 1/3
です。

＞検査で異常が出た時に、病気である（条件つき）確率（陽性的中率）は 3分の1

その結果がなぜか自明のように書かれていますね。
この考え方が上のようなものであることが分かれば、「別の集団」の場合も解けるでしょう。

では、「別の集団」も、同様に「1万人」として考えましょう。
「その病気である確率が 0.25」なので
　罹患者：2500人
　正常者：7500人
です。
「病気の場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（感度） 0.9」なので
　罹患者：検査で陽性と判定：2500 × 0.9 = 2250人
　　　　　残りの 250人は誤って「陰性」と判定される。
「病気でない場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（偽陽性率） 0.2」なので
　正常者：検査で誤って陽性と判定：7500 × 0.2 = 1500人
　　　　　残りの 6000人は正しく「陰性」と判定される。

以上より、「陽性」と判定された「3750人」のうち、真の罹患者は 2250人なので、その陽性的中率は
　2250/3750 = 3/5
です。


（後半）これも「ある集団」を１万人の集団としましょう。
「その病気である確率が 0.1」なので
　罹患者：1000人
　正常者：9000人
です。
「病気の場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（感度） 0.9」なので
　罹患者：検査で陽性と判定：1000 × 0.9 = 900人
　　　　　残りの 100人は誤って「陰性」と判定される。

「病気でない場合、検査で異常が出る（条件つき）確率（偽陽性率） 0.2」を改善して「偽陽性率が Y」になったとすれば
　正常者：検査で誤って陽性と判定：9000Y人
　　　　　残りの 9000(1 - Y)人は正しく「陰性」と判定される。

以上より、「陽性」と判定された
　900 + 9000Y 人
のうち、真の罹患者は 900人なので、その陽性的中率は
　900/(900 + 9000Y) = 1/(1 + 10Y)
です。
これを「2/3 以上」にするので
　1/(1 + 10Y) ≧ 2/3
→　3 ≧ 2(1 + 10Y)
→　3 ≧ 2 + 20Y
→　20Y ≦ 1
→　Y ≦ 1/20 = 0.05

よって、偽陽性率の上限は
　0.05