すごろくの確率の問題なのですが

教えてください。
ｎ桝目に自分の駒が止まる確率を求めたいのですが。
桝には一回休みとか、どこかへ戻るとかの限定条件はなし。
さいころは普通の１から６までのさいころを１個使用。
ｎ＝1なら1/6ですよね。
ｎ＝2は7/36、
ｎ＝3は…

問題は7桝目以降。
特にｎが∞になる時にいくつになるのかが知りたいのですが。感覚的には1/2かなと。

No.1 回答者： daisangenn 回答日時： 2003/11/15 10:00

n=6まではだせると思います。

n≧7のときですが、まずｎ升目に自分の駒が止まる確率をP(n)とします。すると次の式が成り立つのではないでしょうか。

P(n)=P(n-6)*(1/6)+P(n-5)*(1/6)+P(n-4)*(1/6)+P(n-3)*(1/6)+P(n-2)*(1/6)+P(n-1)*(1/6)

第一項目は、ｎ升目に止まる直前は(n-6)升目に止まっていて、次にさいころで6の目を出す確率。第二項目は、ｎ升目に止まる直前は(n-5)升目に止まっていて、次にさいころで5の目を出す確率。…となるのでは。後はこの漸化式をとく。（難しそう…)

ちなみに、今n=6までの確率を計算したら、
P(n)=7^(n-1)/6^n　(n≦6)
となりました。この関係式を用いると上の漸化式も簡単に出来るかも…．

答えになってなくてすみません。

この回答への補足

n-6の時に6の目が出なくても、ｎの桝に到達する場合がありますよね。1+5とか1+1+1+1+1+1とか。ですから1/6とは限らないように思うのですが。

もう少し皆さんの回答を待ってみます。

補足日時：2003/11/15 13:02

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2003/11/15 10:43

収束値は2/7らしいですね。

#1さんの漸化式をExcelで計算するとそうなってますが・・・
式で導けるのだろうか？未検討です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「漸化式をExcelで計算する」まさしく自分がやろうとしていたことなのですが。どうやって2/7という分数で答えが出たのでしょうか。小数ではなくて。
式については他の方が出していただきました。
本当に皆様ありがとうございます。

お礼日時：2003/11/16 05:25

No.3 回答者： ademu2 回答日時： 2003/11/15 14:18

N=6のときの確率が16807/46656で最大値だと思います。

ｎのとき必ずサイコロはｎ/6（整数）+1回振らなければならないのでn＝7の時は最低２回、ｎ＝13の時は最低３回サイコロを振らなければなりません。
でも、考えてみるとｎがたとえいくつであってもサイコロを振る回数に制限がないということは所詮、ｎ-6マス目からｎに止まるかどうかの確率になるのではないかと思います。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
たぶんN=6のときのまでの確率は電卓と筆算でやられたのかと。その後も少し計算したのですが、挫折してしまいました。なにか簡単にまとめる方法はないものかと。それで皆様のお力を拝借した次第です。

お礼日時：2003/11/16 05:30

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2003/11/15 19:04

バックギャモンの「６の確率が最大」のセオリーと、よく似てますね．．．おじさんのつぶやきでした。

それにしても「２／７に収束」という結論には、ちょっと驚きました。へぇーという感じです。私も今晩考えてみます。

No.5 回答者： ryn 回答日時： 2003/11/15 19:58

今の問題設定では確率（？）の合計が１にならないような気がします。

ｎ回さいころを振った時の分布は
ｎマス目から(６ｎ)マス目までですよね。

どこかへ戻るとかがないのであれば
n = 1 に止まる確率を P_1 とすると
　P_1 = 1/6　　　　（振る回数１）
　　　　　0　　　　　（振る回数２以上）
となるのでは？

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2003/11/15 20:10

そう、そう。

合計が１にならないとおかしいかな？と思ってしまいますよね。

しかし．．．私、一応、考えてみたんですけど、この場合は、漸近的には、ｎにほぼ比例して増加（発散）していく、というのが、どうも正解のような気がしますね。
その比例係数が２／７ということのようですね。

この回答へのお礼

どうもいろんな人を悩ましているようですみません。
大体答えが出たようです。

お礼日時：2003/11/16 05:59

No.7 回答者： daisangenn 回答日時： 2003/11/15 22:15

#1のdaisangennです。

一応僕の書いた式の補足説明をします。
P(1)～P(6)までは、一回目でその升目に到達する可能性があるので、全ての可能性を書き上げて確率を計算しました。

例えば、P(4)では、
1+1+1+1,1+1+2,2+2,1+3…,4、全ての可能性を考えて確率を出しました。それが、
P(n)=7^(n-1)/6^n　(n≦6)
です。

n≧7の時は、いきなりｎ升目に止まることはありません。そこで、（直前に止まっていた升目で止まる確立）×1/6をかけたものを全て加えればよいのではと考えました。それが、
P(n)=P(n-6)*(1/6)+P(n-5)*(1/6)+P(n-4)*(1/6)+P(n-3)*(1/6)+P(n-2)*(1/6)+P(n-1)*(1/6)
です。

つまり、
P(7)=P(1)*(1/6)+P(2)*(1/6)+P(3)*(1/6)+P(4)*(1/6)+P(5)*(1/6)+P(6)*(1/6)
となり、P(7)を得られたら
P(8)=P(2)*(1/6)+P(3)*(1/6)+P(4)*(1/6)+P(5)*(1/6)+P(6)*(1/6)+P(7)*(1/6)
とといていきます。

つまり、n升目に止まる確率は(n-6)～(n-1)升目に止まる確立から求められると考えて式を立てました。もし間違っているところがあれば教えてください。

あと、エクセルでこの漸化式をといてくださって有難うございました。この場を借りてお礼申し上げます。結果を見て僕も少し驚いています。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
書かれた式で正しいようですね。直前が６桝目以内という考え方は、私も思っていたのですが、漸化式の形でどのようにまとめるかを悩んでいました。
すぐにお礼を書きたかったのですが一応自分なりに検算というか、確かめるのに時間がかかってしまいました。すみません。

お礼日時：2003/11/16 05:22

No.8 回答者： ryn 回答日時： 2003/11/15 23:20

求める確率は無限回さいころを振ったときに

ｎ桝目に止まったことがある確率という流れのようですね。

そうであれば、No.1 の補足で crystalsnow さんが書かれているように
(n - 6)桝目に止まったあと、１回の試行の後に
ｎ桝目に行かなければならないという制限はありません。

具体的に P(7) は
　P(7) = (1/6)P(6) + (7/6^2)*P(5) + … + (7^5/6^6)*P(1)
一般にｎ≧ 7 における漸化式は
　P(n) = (1/6)*P(n-1) + (7/6^2)*P(n-2) + … + 〇P(2) + △P(1)
のようになるのではないでしょうか。

ここで
　P(n) = P(1)P(n-1) + P(2)P(n-2) + … + P(n-1)P(1)
と書きたいところですが、
ΣP(i) の無限和が発散しているのが気になるので
とりあえず、ｎに止まったことがある場合の数を a(n) として
　a(n) = a(1)a(n-1) + a(2)a(n-2) + … + a(n-1)a(1)
　　　　= Σa(i)a(n-i)
と書いて、求める確率 P(n) は
　P(n) = Σa(i)a(n-i)/Σa(j)
となるのではないでしょうか？
ここで分子は 1≦i≦n-1 、分母は 1≦j＜∞ の和です。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
何度も書き込んでいただいて、すみませんでした。

お礼日時：2003/11/16 05:37

No.9 ベストアンサー 回答者： yuusukekyouju 回答日時： 2003/11/16 00:09

漸化式についてはdaisangennさんの式が正しいと思います。

ｎマス目にとまるということは、その直前はｎ-1マス目からｎ-6マス目のどれかにとまるということです。
ですからたとえばｎ-6マス目にとまり、その後１と５が出た場合もｎマス目にとまります。これはｎ-6から1マス進んだｎ-5マスの確率で計算されているのでNO1の回答に対する疑念は晴らされるのではないですか。
　
漸化式について
P(ｎ+6）＝[P(n+5)+P(n+4）+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)]×1/6
P(ｎ+5）＝[P(n+4）+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)+P(ｎ-1）]×1/6
これを
P(ｎ+1）＝[P(n）+P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)+P(ｎ-5）]×1/6
まで合計して整理すると
P(ｎ+6）+P(n+5)×5/6+P(n+4）×4/6+P(n+3)×3/6+P(n+2)×2/6+P(n+1)×1/6＝P(ｎ）+P(n-1)×5/6+P(n-2）×4/6+P(n-3)×3/6+P(n-4)×2/6+P(n-5)×1/6

ｎの値が6個前の値から計算できます。
ちなみにｎが6の倍数の場合は
P(6）+P(5)×5/6+P(4）×4/6+P(3)×3/6+P(2)×2/6+P(1)×1/6＝1となります。
nが6の倍数あまり1の場合も1となります。
あまりが2から5の場合も1となるとおもいますが、確認していません。
漸化式が収束すると考えれば、
P(ｎ+6）+P(n+5)×5/6+P(n+4）×4/6+P(n+3)×3/6+P(n+2)×2/6+P(n+1)×1/6
＝P(n+6)×21/6
＝1となり
P(n+6)＝6/21＝2/7となります。

またサイコロの目のでる期待値は1から6だから3.5となります。ｎが無限に大きくなればどのマス目でとまる確率もひとしくなるので確率は1/3.5つまり2/7ではないですか。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
答えの分母が７になるのに違和感を感じていたのですが、確かに期待値から考えるとそうなるのですね。
ここにある確率＝次に進む距離（期待値）の逆数と言う事でしょうか。なにか哲学的ですらあるような。
さいころの目が１だけの時は確率は1/1、1と2なら2/3、3までなら2/4…と考えてゆけばよかったんだ。
と一人で納得いたしております。

お礼日時：2003/11/16 05:55

No.10 回答者： ryn 回答日時： 2003/11/16 01:22

> ｎマス目にとまるということは、その直前は

> ｎ-1マス目からｎ-6マス目のどれかにとまるということです。
なるほど。
たしかにそうですね。

P(n)=(1/6){ P(n-6) + P(n-5) + P(n-4) + P(n-3) + P(n-2) + P(n-1) }
さえ与えられれば余りでの場合わけは考えなくても収束値は求まります。

十分大きくｎを取り
　P(7) = (1/6){ P(6) + … + P(1) }
　P(8) = (1/6){ P(7) + … + P(2) }
　　　：
　P(n) = (1/6){ P(n-1) + … + P(n-6) }
を辺々加えると
　P(7) + … + P(n) = (1/6){ P(1) + 2P(2) + … + 6P(6) }
　　　　　　　　　　　　+ P(7) + … + P(n-6)
　　　　　　　　　　　　+ (1/6){ 5P(n-5) + 4P(n-4) + … + P(n-1) }
⇔P(n-5) + … + P(n) = (1/6){ P(1) + 2P(2) + … + 6P(6) }
　　　　　　　　　　　　+ (1/6){ 5P(n-5) + 4P(n-4) + … + P(n-1) }
となります。

ここで、ｎが大きいとき
　P(n) → P
とすると
　6P = (1/6){ P(1) + 2P(2) + … + 6P(6) } + (15/6)P
⇔(21/6)P = 1
⇔P = 2/7
が得られます。