線形代数 奇数次の直交行列 行列式1 固有値1

以下の問題がわかりません。

「Aを奇数次の直交行列でdetA=１とするとき１は固有値であることを示せ。」

Aが固有値1をもつから、|A-E|=0となることを証明すればよい。

|A|=|tA|=1より、|A-E|=|A-E||tA|=|AtA-tA|=|E-tA|=|E-A|=|-(A-E)|

ここまで自分でやりましたが、その後どうすればよいのかわかりません。

そもそも、このやり方ではまずいでしょうか？

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2016/12/27 00:10

|-(A-E)|

=|(A-E)(-E)|
=|(A-E)||-E|
=-|(A-E)|

-E はｰ1が対角線上に奇数個ならぶので行列式はｰ1

|A-E|=ｰ|A-E|
２|A-E|=０
よって
|A-E|=０

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2017/01/11 16:43

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/28 11:15

すでに回答が 2 件ありますが, 疑問は解決しましたか.

未解決であるなら, 詳しく回答する前に, 確認しておきたいことがあります.
質問者様は, 行列式の「定義」を習っていますか.
そして, 定義の意味を, きちんと理解できているでしょうか.
ご存知だとは思いますが, det(A) = det(tA) や det((A - E)tA) = det(A - E)det(tA) などは,
行列式に関する命題ではありますが, 行列式の定義ではありません.

この回答へのお礼

お返事遅れて申し訳ありません。
置換を用いた定義はやりましたが、いまいちよくわかっていないと思います。
再来週から期末試験ですが、試験が終われば長期休暇に入りますので、その期間にもう一度最初から線形代数をじっくりやり直していくつもりです。
その際にまた分からないことが出てくると思いますので、また質問させていただければと思っています。
よろしくお願いします。

お礼日時：2017/01/11 16:57

No.1 回答者： Nukogi20161207 回答日時： 2016/12/26 21:11

＞|A|=|tA|=1より、|A-E|=|A-E||tA|=|AtA-tA|=|E-tA|=|E-A|=|-(A-E)|

Aが奇数次の行列より、A-Eも奇数次の行列である。よって、|-(A-E)|=-|A-E|
ゆえに、|A-E|=0

計算サイトがあるので、奇数次の行列式にマイナスつけて確かめてみてください。
http://keisan.casio.jp/exec/system/1279265553

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2017/01/11 16:43