A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
x<0等の場合を検討しても、x,y,zの符号を全部変えるほか新しい解はない、ようである。
次に前回省略した二次形式の理論を追加する。行列の式は正確に表示できないので、
なるべく図に書いたので見て下さい。
g(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0__①
二次形式をf(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2とする。
f(x,y,z)+24を2次形式の形に書くと②となる。この2次形式を特徴づける行列はA_③である。以下、2次形式の理論により、行列の固有値と固有ベクトルを求め行列を対角化する。2次形式と行列の対角化の計算を示す。さらなる解説は教科書に譲る。
f(x,y,z)= (x y z)A(x y z)t= x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2__②
A=〔 1 -1 -1 __③
-1 1 -1
-1 -1 1 〕
det(A-λI)=(1-λ)^3-3(1-λ)-2=0は行列Aの特性方程式である。
t= 1-λ とおくと t^3-3t-2=0。これを解いて、t=-1 ,t=2(重根)
固有値はλ=-1,λ=2__④
次に固有方程式(A-λI)x=0から固有ベクトルを求める。λ=-1に属する固有ベクトルは
〔 2 -1 -1 〔a =0 2a-b-c=0 a=b=c=1 λ=-1 x1=(1,1,1)t/√3_⑤
-1 2 -1 b -a+2b-c=0
-1 -1 2 c 〕 -a-b+2c=0
〔-1 -1 -1 〔a a+b+c=0
-1 -1 -1 b a=2,b=-1,c=-1 x2=(2, -1, -1)t/√6_⑥
-1 -1 -1 c〕 a=0,b=1,c=-1 x3=(0, 1, -1)t/√2_⑦
⑤⑥⑦により得られた固有ベクトルから、変換行列Tを作る。
T= (x1 x2 x3)=〔 1/√3 2/√6 0 __⑧
1/√3 -1/√6 1/√2
1/√3 -1/√6 -1/√2 〕
Tが得られたら、T^(-1) A TによりAは対角化されてΛ_⑨となる。
A T = 〔1 -1 -1 1/√3 2/√6 0
-1 1 -1 1/√3 -1/√6 1/√2
-1 -1 1〕1/√3 -1/√6 -1/√2〕
=〔-1/√3 4/√6 0
-1/√3 -2/√6 √2
-1/√3 -2/√6 -√2〕
T^(-1) A T = 〔 1/√3 1/√3 1/√3 〔-1/√3 4/√6 0
2/√6 -1/√6 -1/√6 -1/√3 -2/√6 √2
0 1/√2 -1/√2〕 -1/√3 -2/√6 -√2〕
=〔-1 0 0 =Λ__⑨
0 2 0
0 0 2〕
対角化ができたので、逆にΛを使ってAを表す。Λを使って二次形式(x y z)A(x y z)tを表す。
TΛT^(-1)=A
(x y z)TΛT^(-1) (x y z)t = (x y z)A(x y z)t
(x y z)T=(x y z)〔 1/√3 2/√6 0 = (x+y+z)/√3 (2x-y-z)/√6 (y-z)√2
1/√3 -1/√6 1/√2
1/√3 -1/√6 -1/√2〕
T^(-1) (x y z)t=〔 1/√3 1/√3 1/√3 〔x = 〔 (x+y+z)/√3
2/√6 -1/√6 -1/√6 y (2-y-z)/√6
0 1/√2 -1/√2〕 z〕 (y-z)√2 〕
(x y z)A(x y z)t= (x+y+z)/√3 (2x-y-z)/√6 (y-z)√2 Λ〔 (x+y+z)/√3
(2x-y-z)/√6
(y-z)√2 〕
=-(x+y+z) ^2/3+(2x-y-z)^2/3+(y-z)^2__⑩
二次形式f(x,y,z)を標準形にできたので
g(x,y,z)= f(x,y,z) +24=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0
=-(x+y+z) ^2/3+(2x-y-z)^2/3+(y-z)^2+24=0__⑪
ここからNo.1の式⑤につながる。
No.2
- 回答日時:
g(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0__①
を満たす 整数解(x,y,z)を求めよ、
二次形式をf(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2__②
とする。
対称性からx≧y≧z≧0_③と仮定し、これを満たす解のみを求める。
x<0の場合は別途、検討して下さい。
以下、2次形式の理論により、行列の固有値と固有ベクトルを求め行列を対角化すると、
二次形式f(x,y,z)を標準形④にできる。
この理論は次回述べるので、④の括弧をはずして式②と合っていることを確認してもらえればよい。
f(x,y,z)=-(1/3)(x+y+z)^2+(1/3)(2x-y-z)^2+(y-z)^2_④
すると
g(x,y,z)= f(x,y,z) +24=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0
=-(1/3)(x+y+z)^2+(1/3)(2x-y-z)^2+(y-z)^2+24=0_⑤
両辺を3倍して第1項を求めると
(x+y+z)^2=(2x-y-z)^2+3(y-z)^2+72_⑥
この式の右辺は偶数であることを確認する。
右辺=4x^2-4x(y+z)+ (y+z)^2+3(y-z)^2+72
=4x^2-4x(y+z)+y^2+2yz+z^2+3(y^2-2yz+z^2)+72
=4x^2-4x(y+z)+4y^2-4yz+4z^2+72
=4(x^2-x(y+z)+y^2-yz+z^2+18) __⑦
右辺は偶数であることが確認された。従って、左辺のx+y+zは偶数でなければ解とならない。
ここで⑧と置くと式⑥は⑨となる。k^2について解くと⑩.x+y+z=nは偶数とする。
2x-y-z=k,y-z=m, x+y+z=n_⑧
(x+y+z)^2=(2x-y-z)^2+3(y-z)^2+72_⑥
n^2=k^2+3m^2+72_⑨
k^2=n^2-3m^2-72_⑩
⑩の左辺はk^2≧0だから右辺もn^2-3m^2-72≧0でなければ解とならない。よって
n^2≧3m^2+72≧72,n≧√72=8.4__⑪
n=9以上の偶数と、m≧0のmを組合わせて
k=√(n^2-3m^2-72) __⑫
の平方根が開ける数を探すと、以下に示す多数の組が見つかる。この組み合わせの個数は、無限であるかもしれない。
n 10 10 10 14 14 14 18 18 18 22 22 22 34 34
m 1 2 3 1 5 6 3 6 9 2 9 11 9 19
3 5 4 1 11 7 4 15 12 3 20 13 7 29 1
表1参照
n, m,kがわかったので、式⑬を使ってx,y,zを求めることができる。
2x-y-z=k,y-z=m, x+y+z=n_⑬
y =m+z__⑭
2x-m-2z=k
x+ m+2z=n
3x=k+n
x=(k+n)/3__⑮
z=(n-m-x)/2__⑯
y =m+z__⑰
⑮⑰の割り算で割り切れない場合は整数解にならないので除去する。
表2ができる。
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