
大学の数学の問題でわからない所があるので、教えてください。
R^nの多面体を{x∈R^n|Ax=b,x≧0}で定義します。
ここにA∈R^(m*n),b∈R^mで、Rは実数全体の集合、ベクトルの不等号は各成分ごとの不等式です。
また、多面体Pの端点をx∈P
s.t. x=λy+(1-λ)z(λ∈[0,1])となるようなy,z∈Pが存在しない
というように定めます。
今、P,QをR^nの多面体として
P+Q={x+y∈R^n|x∈P,y∈Q}
とする
(1)P+Qは多面体であることを示せ。
(2)P+Qの端点はちょうどPとQの端点の和であることを示せ。
とりあえずP={x|Ax=b},Q={y|By=c}とおいてみたのですが、
C(x+y)=d
となるような行列Cが見つかりません。
どなたかご教授ください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(2)は簡単そうなので、(1)についてだけアイデアを書きます。
厳密な証明はお任せします。次の[1]は既知とします。
[1] R^nの部分集合VがR^nの部分ベクトル空間である必要十分条件は、ある行列Fが存在してV={v|Fv=0} と書けること(十分条件であることは明らか。必要条件であることについては、Fの各列にVの直交補空間の基底を持ってくればよい)。
さて、P又はQが空集合のときは明らかなので、どちらも空集合でないとして、
x0∈P、y0∈Q
とすれば、Pの任意の元xとQの任意の元yに対して、
[2] A(x-x0)=0、B(y-y0)=0
となります。そこで、P'={x'|Ax'=0}、Q'={y'|By'=0}と置けば、
P = {x'+x0|x'∈P'、x'≧-x0}
Q = {y'+y0|y'∈Q'、y'≧-y0}
なので、
[3] P+Q = {x'+y'+x0+y0|x'+y'∈P'+Q'、x'≧-x0、y'≧-y0}
= {x'+y'+x0+y0|x'+y'∈P'+Q'、x'+y'≧-x0-y0}
となります。また、P'とQ'はベクトル空間なので、P'+Q'もベクトル空間になります。よって、[1]により、ある行列Cが存在して、
[4] P'+Q'={z'|Cz'=0}
となります。[3]と[4]を組み合わせて、
P+Q = { z'+x0+y0|Cz'=0、z'≧-x0-y0}
= {z|Cz=C(x0+y0)、z≧0}
が得られます。
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