あいまいな日本語数学問題

[
a,b,cは正の数とする。xy平面において、関数
y=ax^2+bx+c
とx軸の交点が存在するのは、x<0の範囲だけであることを示せ。
]
という問題を
「
R=(全実数の集合)
P={t∈R|t>0}
A={x∈R|∃{a,b,c}⊂P,ax^2+bx+c=0}
B={x∈R|x<0}
の時
A=B
を示せ
」
と
解釈し

x∈Aとすると
x∈R
ax^2+bx+c=0
a>0,b>0,c>0となるa,b,cがある
x∈R-Bと仮定すると
x≧0
だから
ax^2+bx+c≧c>0
だから
ax^2+bx+c=0に矛盾するから
x∈B
x∈A→x∈Bが成り立つから
A⊂B

x∈Bとする
a=1
b=-2x
c=x^2
とすると
x<0だから
a=1>0
b=-2x>0
c=x^2>0
ax^2+bx+c=x^2-2x^2+x^2=0
だから
x∈A
x∈B→x∈Aが成り立つから
B⊂A

と証明しましたが
あっていますでしょうか?

質問者からの補足コメント

• 問題の式を 平方完成すれば、
  a, b, c が正数なら、式のグラフは
  下に凸で、 軸が x軸の負の部分で、
  y軸との交点が 正だから
  だけでは
  
  x<0の範囲で
  x軸との交点が存在する
  とはいえないのではないでしょうか?
  
  それとも
  
  x<0の範囲で
  x軸との交点が存在する
  事
  をいう必要は無いのでしょうか?

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/30 11:33

• 「
  交点が存在するのは、x<0の範囲である
  」
  は
  「
  交点が存在するxの範囲の集合は、x<0の範囲の集合に等しい
  」
  と
  考えて
  
  x<0の範囲で
  x軸との交点が存在する
  事
  をいう必要がある
  と
  考えました

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/31 04:02

No.9 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/30 19:06

NO4 です。

「x軸の交点が存在する」事が 問題の条件だと 考えられますから、
x軸との交点が存在しない場合を 考える必要は、無いと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2022/05/30 20:08

No.8 回答者： s4gf9suR 回答日時： 2022/05/30 18:57

> という意味で

> a,b,c
> を変数と考えました
なるほど、お考えはわかりました。

設問内容をもっと正確に書くと「
　三つの正の実数 a, b, c について
　　ax^2+bx+c = 0
　となる実数 x の集合を S(a, b, c) とする。
　
　このとき
　　S(a, b, c) ≠ φ
　　ならば
　　S(a, b, c) ⊆ { x∈R | x<0 }
　であることを示せ。
」ではないでしょうか？
質問の表題が「あいまいな日本語数学問題」ですので、その曖昧性を解消してみました。

「だけ」の意味を入れると
　　S(a, b, c) ⊆ { x∈R | x<0 }
　　かつ
　　S(a, b, c) ∩ { x∈R | x≧0 } ＝ φ
となりますが、実数の性質(*1)から同じことを２回言っているだけになるから、入れませんでした。あえて冗長な副助詞を入れてあるため出題者の資質に疑問が湧きます。

さらに
　S(a, b, c) ≠ φ
　ならば
を入れたのは S(a, b, c) ＝ φ のときは必ず
　S(a, b, c) ⊆ { x∈R | x<0 }
で、自明(*2)だからです。

「x<0 の範囲である」は
　{ x∈R | x<0 } と一致する
ではなく
　{ x∈R | x<0 } の部分集合である
を意味していると考えています。普通そんな曖昧な言い方は数学的な会話では使わないので、どちらかであるかは出題者に聞いてみるしかないと思います。そのため出題者の資質に疑問が湧きます。

*1: 実数は０以上か０未満のどちらかである
{ x∈R | x<0 } ∪ { x∈R | x≧0 } ＝ R
かつ
{ x∈R | x<0 } ∩ { x∈R | x≧0 } ＝ φ

*2: 部分集合の定義から空集合も部分集合の一つ

この設問は他の方の質問からとってきたのですよね。そもそも意図的に不明確に作られている設問のように感じます。「範囲だけ」という部分が特にです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2022/05/30 20:08

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/30 17:16

「交点が存在するのは」の「のは」が重要で交点が存在する事をいう必要は無いと思います。

交点が存在する様な、a,b,c,xから成る集合を考える、と言ってる訳だから、その集合の要素xはすべて<0です。

交点が存在しない集合も在る訳で、この設問はそれを除外していて、「交点が存在するのは」と言ってます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2022/05/30 20:03

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/30 17:15

「交点が存在するのは」の「のは」が重要で交点が存在する事をいう必要は無いと思います。

交点が存在する様な、a,b,c,xから成る集合を考える、と言ってる訳だから、その集合の要素xはすべて<0です。

交点が存在しない集合も在る訳で、この設問はそれを除外していて、「交点が存在するのは」と言ってます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2022/05/30 20:03

No.5 回答者： s4gf9suR 回答日時： 2022/05/30 16:40

「A=B を示せ」とまでは言われていませんね。

「A⊆B」を示せば十分です。

なぜなら「x<0の範囲だけ」は
　x<0の範囲 である
　かつ
　そうでない範囲(x≧0と共通集合が空集合ではない範囲)ではない
ことを意味しています。

もっとガラリと言い換えるとこうです。
　解集合 ⊆ {x∈R|x<0}
　かつ
　解集合 ∩ {x∈R|x≧0} ＝ φ

さて問題となるのは「x軸の交点が存在するのは、…」という言い回しです。この言い回しが
　解集合 ≠ φ
を含意しているかどうかが議論のわかれるところです。つまり
　解釈１: x軸の交点が存在し、それらは
　解釈２: x軸の交点が存在するのならばそれらは
なのかが曖昧です。解釈２は存在しなくてもよく、解釈１は存在しなければなりません。
ついでに言うと解釈２をしてもらいたいときには「ならば」かそれに準ずる表現を必ず入れるのが習慣だと思います。それがないので解釈２のときは(大学の)先生に突っ込まれます。その突っ込みを通して数学の議論ができる人材が育てられるのです。

しかし解が存在していることは容易にわかることなので、このケースではそこが解釈で曖昧であっても問題にはなりません。ですが一般に数学の議論をするときには極めて重要です。このため、解の存在を示しておくのがあるべき姿勢だと考えます。

上の部分までで回答しようと思いましたが、質問を見直したところ、a,b,c のどれも変数とお考えのようですね。
　A={x∈R|∃{a,b,c}⊂P,ax^2+bx+c=0}
と表現しています。その解釈にとても違和感があります。そしてそうだとしたら問題の文はもっと違う表現が適切です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

a=1
b=1
c=1
の場合
y=x^2+x+1
と
x軸との交点は存在しないので

y=ax^2+bx+c
と
x軸との交点が存在するような
a>0,b>0,c>0
という意味で
a,b,c
を変数と考えました

お礼日時：2022/05/30 17:17

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/30 13:46

＞a,b,cは整数ではありません

NO1 です、すみません。 ミス変換でした。
「整数」→「正数」。

それから、a, b, c が 正数だけなら x の値に拘わらず
ax²+bx+c>0 の場合がありますが、
「x軸との交点が存在するのは」が 問題の条件ですから、
交点が無い場合を 考慮する必要は無いのでは。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

「
a,b,cは正の数とする。xy平面において、関数
y=ax^2+bx+c
とx軸の交点が存在するのは、x<0の範囲であることを示せ。
」
の場合も

x<0の範囲で
x軸との交点が存在する
事
をいう必要は無いのでしょうか?

お礼日時：2022/05/30 15:33

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/30 12:19

そんなに難しく考えなくても良いのでは？

y=ax²+bx+cで
c>0
ax²≧0　(=はx=0の場合)

つまりxの値によらず、ax²+c >0

bx≧0 ならy=ax²+bx+c >0なので、x軸との交点は無い。

交点があるのはbx<0に限られる。b>0なんだから、x<0。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

交点があるのはbx<0に限られるけれども

実際にあるとはいえないのではないでしょうか?

x<0の範囲で
x軸との交点が存在する
事
をいう必要は無いのでしょうか?

「
a,b,cは正の数とする。xy平面において、関数
y=ax^2+bx+c
とx軸の交点が存在するのは、x<0の範囲であることを示せ。
」
の場合も

x<0の範囲で
x軸との交点が存在する
事
をいう必要は無いのでしょうか?

お礼日時：2022/05/30 15:31

No.2 回答者： funoe 回答日時： 2022/05/30 11:56

細かくはみておらんが、まず「解釈」が違っている。

出題の命題が真なら
　（まぁ、一目みて真だけど。なぜなら　x,a,b,c>０ならｙ>0だから）


a,b,cは正の数とする。xy平面において、関数
　y=ax^2+bx+c
とx軸の交点が存在するのは、x<１0の範囲だけであることを示せ。

も、真。

あなたはどう「解釈」するの？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

a,b,cは正の数とする。xy平面において、関数
　y=ax^2+bx+c
とx軸の交点が存在するのは、x<１0の範囲である
は
x軸との交点が0≦x<10の範囲に存在しないので
偽
だと思ったので

a,b,cは正の数とする。xy平面において、関数
　y=ax^2+bx+c
とx軸の交点が存在するのは、x<１0の範囲だけである
は
x軸との交点が0≦x<10の範囲に存在しないので
偽
だと思いましたが
もう少し考えてみます

お礼日時：2022/05/30 15:20

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/30 11:14

集合の考えを持ち込む迄も無く、

問題の式を 平方完成すれば、
a, b, c が整数なら、式のグラフは
下に凸で、 軸が x軸の負の部分で、
y軸との交点が 正ですから、当然でしょ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
a,b,cは整数ではありません

お礼日時：2022/05/30 11:17