色の知識で人生の可能性が広がる!みんなに役立つ色彩検定 >>

liman=α(n→∞)のとき、lim(a1+a2+…+an)/n=α(n→∞)であることの証明がわかりません。教えてください!わかる方よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

>liman=α(n→∞)のとき、lim(a1+a2+…+an)/n=α(n→∞)であることの証明がわかりません。


liman=α(n→∞)だから、
任意のε>0に対して、ある番号mがあって、n>mならば|an-α|<ε/2
an-α=bnとおくと、|bn|<ε/2 ……(1)
(a1+a2+…+an)/n)-α
={(a1-α)+(a2-α)+……+(an-α)}/n
=(b1+b2+……+bn)/n
={(b1+b2+……+bm)/n}+{(bm+1+bm+2+……+bn)/n}だから、
|(a1+a2+…+an)/n)-α|
≦|(b1+b2+……+bm)/n|+|(bm+1+bm+2+……+bn)/n|
2項目について、
|(bm+1+bm+2+……+bn)/n|
≦(|bm+1|+……+|bn|)/n (1)より、
<(ε/2+……+ε/2)/n={(n-m)/n}・ε/2<ε/2
1項目について
n→∞のとき、(mを固定すると)|(b1+b2+……+bm)/n|→0だから、
任意のε>0に対して、ある番号N>mがあって、n>Nならば、
|(b1+b2+……+bm)/n|<ε/2
よって、n>Nならば
|(a1+a2+…+an)/n)-α|
≦|(b1+b2+……+bm)/n|+|(bm+1+bm+2+……+bn)/n|
<ε/2+ε/2=ε
だから、|(a1+a2+…+an)/n)-α|<ε
よって、lim(a1+a2+…+an)/n=α(n→∞)

でどうでしょうか?
    • good
    • 0

ANo.1です。


スミマセン。
max{|a1-α|,|a2-α|,・・・,|ak-α|} = M
・・・に訂正します。
    • good
    • 1

bn = (a1 + a2 + ・・・+ an)/n・・・とする。


bn-α = (a1 + a2 + ・・・+ an)/n-α
= {(a1-α)+(a2-α)+・・・(an-α)}/n
任意のε>0に対して適当なkを取ると、全てのn>kに対し|an-α|<ε(∵仮定より)
max{|a1-α|,|a2-α|,・・・,|an-α|} = Mとすると
十分大きなN(N>k)を取れば、n>NについてkM/n<εが成り立つように出来る。
|bn-α|≦(kM+ε(n-k))/n≦kM/n+ε<2ε
εは任意であるのでlim bn = α (n→∞)は成り立つ。

・・・でどうだろう!?
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

教えて!goo グレード

人気Q&Aランキング