極限に関する証明について

liman＝α(n→∞)のとき、lim(a1+a2+…+an)/n=α(n→∞)であることの証明がわかりません。教えてください！わかる方よろしくお願いします。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/06 06:55

＞liman＝α(n→∞)のとき、lim(a1+a2+…+an)/n=α(n→∞)であることの証明がわかりません。

liman＝α(n→∞)だから、
任意のε＞0に対して、ある番号ｍがあって、ｎ＞ｍならば｜ａn－α｜＜ε/2
ａn－α＝ｂnとおくと、｜ｂn｜＜ε/2　……（１）
（a1+a2+…+an)/n）－α
＝｛（ａ1－α）＋（ａ2－α）＋……＋（ａn－α）｝／ｎ
＝（ｂ1＋ｂ2＋……＋ｂn）／ｎ
＝｛（ｂ1＋ｂ2＋……＋ｂm）／ｎ｝＋｛（ｂm+1＋ｂm+2＋……＋ｂn）／ｎ｝だから、
｜（a1+a2+…+an)/n）－α｜
≦｜（ｂ1＋ｂ2＋……＋ｂm）／ｎ｜＋｜（ｂm+1＋ｂm+2＋……＋ｂn）／ｎ｜
２項目について、
｜（ｂm+1＋ｂm+2＋……＋ｂn）／ｎ｜
≦（｜ｂm+1｜＋……＋｜ｂn｜）／ｎ　（１）より、
＜（ε/2＋……＋ε/2）／ｎ＝｛(n-m)/n｝・ε/2＜ε/2
１項目について
ｎ→∞のとき、（ｍを固定すると）｜（ｂ1＋ｂ2＋……＋ｂm）／ｎ｜→０だから、
任意のε＞0に対して、ある番号Ｎ＞ｍがあって、ｎ＞Ｎならば、
｜（ｂ1＋ｂ2＋……＋ｂm）／ｎ｜＜ε/2
よって、ｎ＞Ｎならば
｜（a1+a2+…+an)/n）－α｜
≦｜（ｂ1＋ｂ2＋……＋ｂm）／ｎ｜＋｜（ｂm+1＋ｂm+2＋……＋ｂn）／ｎ｜
＜ε/2＋ε/2＝ε
だから、｜（a1+a2+…+an)/n）－α｜＜ε
よって、lim(a1+a2+…+an)/n=α(n→∞)

でどうでしょうか？

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2012/06/06 02:53

ANo.1です。

スミマセン。
max{|a1－α|,|a2－α|,・・・,|ak－α|} = M
・・・に訂正します。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2012/06/06 02:45

bn = (a1 + a2 + ・・・+ an)/n・・・とする。

bn－α = (a1 + a2 + ・・・+ an)/n－α
= {(a1－α)＋(a2－α)＋・・・(an－α)}/n
任意のε＞0に対して適当なkを取ると、全てのn＞kに対し|an－α|＜ε(∵仮定より)
max{|a1－α|,|a2－α|,・・・,|an－α|} = Mとすると
十分大きなN(N＞k)を取れば、n＞NについてkM/n＜εが成り立つように出来る。
|bn－α|≦(kM＋ε(n－k))/n≦kM/n＋ε＜2ε
εは任意であるのでlim bn = α (n→∞)は成り立つ。

・・・でどうだろう！？