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数学の問題を解いて解答を見ると、「~しても一般性を失うことはない・・・」ってありました。これはどういう意味ですか?
辞書で「一般」の意味を調べると「一部の事例に限らず、多くの場合や事例にわたること。特別の場合は別にして、おおむねそのような傾向が認められること。」と載っていました。
 しかし、まったく「一般性を失う」ってどういうことか分かりません。だれか教えてください(><)
 

A 回答 (5件)

設問には提示されていない条件を付加するときの決まり文句で、



普通は、勝手に条件をつけ加えるなんて許されることではないけど、
「今回付加しようと思っている条件は、ほんのちょっとした解釈や工夫をすることで、もとからあった条件と同様に余条件として解釈できる」
って意味ですね。

たとえば、「異なる2つの自然数a,bのうち一方が偶数、一方が奇数であったとき、その積は偶数となる」ことの証明において、
「aを偶数、bを奇数とする」といった、一見新しい条件を付加するとしても「一般性を失わない」んです。
(以下、aは偶数なので2cとおけて、a*b=2cbとなり積は...)

ここでは、「ほんのちょっとした解釈」として、「もしaの側が奇数だったとしたら、それをbとし、b(偶数の方)をaと思っても、このあとの推論には影響ないよ」ということなんですが、それを一言で表現したいとき便利なのが「一般性を失わない」なんです。
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この回答へのお礼

なるほど、そういうことですか(><)
すごくよく分かりました。なるほどね~すごい!!
ありがとうございました(^^)助かりました。

お礼日時:2007/10/05 20:26

例えば、赤いカードと白いカードに関する証明問題があったとします。

このとき
(1) 1枚目のカードを赤と仮定して、証明が完成するとします。また、
(2) 1枚目のカードを白と仮定すると、(1) で記述した証明の過程の「赤」を全部「白」に置き換え、「白」を全部「赤」に置き換えた形でやはり証明が完成するとします。
この場合、(1)と(2)の両方を記述する必要はありません。「1枚目のカードが赤であると仮定したことによって、以後の論理展開に何ら支障を生じることがない」ことを宣言すれば足りるはずです。
このようなときに「1枚目のカードを赤と仮定しても一般性が失われない」と宣言するのが慣例となっています。つまり「1枚目のカードを赤と仮定しますが、これは一般的に記述して<ある色><他方の色>と区別しているのと同じことなのですよ」という意味です。
「一般性を失う」とは、赤からスタートしたときと、白からスタートしたときは、論理展開が違う形になってしまう、ということです。
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この回答へのお礼

「一般性を失う」とは赤からスタートしたときと白からスタートしたときは理論展開が違う形になってしまうということですか!!!(^o^)
とても分かりやすい例えに感動しました。ありがとうございます。なるほどね~すごい!!!助かりました。

お礼日時:2007/10/07 00:47

ANo.1 さんの場合



命題 P(a, b) = 「異なる2つの自然数a,bのうち一方が偶数、一方が奇数であったとき、その積は偶数となる」

とした時に P(a, b) ≡ P(b, a) を利用しています(同値な命題)

ANo.2 さんの場合も例えば

命題 P(c) = 「円 c の半径を r とすると、その面積は πr^2 である」

とした時に、任意の並行移動 u : R^2 -> R^2 をもって P(u(c)) ≡ P(c) を利用しています。

とまぁ、P(a, b) ≡ P(b, a) や P(u(c)) ≡ P(c) が「自明だなぁ」と思った時に「一般性を失わない」という一言でかたづけているようです。

証明を読んだ人が俄かには理解できなさそうだ、と感じた場合には「一般性を失わない」こと自体の証明を補題として補足したりします。
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この回答へのお礼

証明を読んだ人が俄かには理解できなさそうだ、と感じた場合には「一般性を失わない」こと自体の証明を補題として補足したりします。
そうですね、その通り、補足が必要だと思います。
数学は1つ1つ理解できると嬉しいですね(^^)ありがとうございます。

お礼日時:2007/10/07 00:51

極端な例で。



パチンコ台で10個の均一なパチンコ玉を全く同じ力で打ったとしましょう。このときどんな順番で玉を打っても、当たりに入る確率は同じハズです。こんな場合、10個の玉をあなたの気に入った順に並べて打っても一般性は失われないと考えられますね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました(^^)

お礼日時:2007/10/07 00:49

本当は一般の場合を考えなければならないが、


ある特別の場合を考えても十分なときこんなことを言います。
例えば円について考える時、円の中心座標が(0,0)とは限らないが
中心座標が(0,0)である特別な場合を考えれば楽な時、「円の中心座標が(0,0)であるとしても一般性を失わない」といいます。
実際どんな円も平行移動すれば中心を(0,0)にできます。
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この回答へのお礼

なるほど、ある特別の場合を考えても、他の場合も同じように応用できるときに一般性を失うことはないというのですね。助かりました。ありがとうございます(^^)

お礼日時:2007/10/05 20:28

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Q数学の問題:「一般性を失わない」について

以下は数Iの二次関数と不等式の単元の問題です。

【問題】1辺の長さが3の正方形ABCDの周を3等分する点P,Q,Rを頂点とする三角形PQRの面積Sno最大値、最小値を求めよ

【解答】三角形PQRの3つの頂点のうち、少なくとも1つは正方形の1つの頂点からの距離が1以下の位置にあるので、下図(わかりにくくてすみません;)のように点Pが線分AE上にあるとしても一般性を失わない。ここで、Eは、辺AB上の点で、AE=1となる点である。

  D| ̄^R ̄ ̄^ ̄ ̄ ̄^  ̄ ̄ ̄|C
   -                 -
   |                 |      ←^や。や・、-のところは点だと思ってください;
   |                  ・R
   -                 -
   |                 |
   |__。P_。___。___ |
  A       E            B
そこで、AP=1とおけば、0≦x≦1 ・・・・・・

と解答が続いていきます。


質問したいのは、数学の問題でたまに「一般性を失わない」という表現が出てくる問題がありますが(ちょっと高級な問題なんですかね?)、こうした表現は自分で解答を作るときにも盛り込むべきですか?
この前提を書かないと減点になるんでしょうか・・・

以下は数Iの二次関数と不等式の単元の問題です。

【問題】1辺の長さが3の正方形ABCDの周を3等分する点P,Q,Rを頂点とする三角形PQRの面積Sno最大値、最小値を求めよ

【解答】三角形PQRの3つの頂点のうち、少なくとも1つは正方形の1つの頂点からの距離が1以下の位置にあるので、下図(わかりにくくてすみません;)のように点Pが線分AE上にあるとしても一般性を失わない。ここで、Eは、辺AB上の点で、AE=1となる点である。

  D| ̄^R ̄ ̄^ ̄ ̄ ̄^  ̄ ̄ ̄|C
   -               ...続きを読む

Aベストアンサー

>「一般性を失わない」を使うと、名のある定理だけでなく、他の命題を当たり前の事実として
言い表すことになります

それは違う.ほかの命題を使うならその旨を書くか
あまりにも当たり前ならそのままスルーすればいい.
例えば,ベクトルの長さを考えるのにいちいち「三平方の定理より」とか
いわないでしょう?

「一般性を失わない」というのは
一見複雑もしくは一般的な状況下の問題だけども,
実は特定の条件下で解いても(本質的には)同じであるときに
使う言葉です.


例えばこういう問題.

(1/x)+(1/y)+(1/z)=1
を満たす自然数の組(x,y,z)を全て求めよ

この問題は,x,y,zの対称性と自然数であることから
1<=x<=y<=z
と仮定しても「一般性を失わない」のです.
要求されているのは単なる「自然数の組(x,y,z)」なのに
実際は「大小関係があると勝手に仮定して」も
最後に並び替えて答えを全部出せばよいだけだから
「仮定しても一般性を失わない」のです.

「一般性を失わない」ときは
明らかなときはただ「一般性を失わない」ですが
大抵の場合は「何々だから」一般性を失わないという説明が必要です.
これも論証の一部ですから
どうして一般性を失わないで勝手に条件を追加できるのかは
記述しておくほうが間違いないです.

>「一般性を失わない」を使うと、名のある定理だけでなく、他の命題を当たり前の事実として
言い表すことになります

それは違う.ほかの命題を使うならその旨を書くか
あまりにも当たり前ならそのままスルーすればいい.
例えば,ベクトルの長さを考えるのにいちいち「三平方の定理より」とか
いわないでしょう?

「一般性を失わない」というのは
一見複雑もしくは一般的な状況下の問題だけども,
実は特定の条件下で解いても(本質的には)同じであるときに
使う言葉です.


例えばこういう問題.

(1/x)+(1/...続きを読む

Q河合塾と駿台の違い、互いのメリットデメリットについて

はじめまして、私は現在高校三年生(今春卒業予定)のものです。
今年は前期で失敗したら浪人する予定す。
現在私の手元には駿台予備校仙台校と河合塾仙台校から
入学の認定が届いています。ですが、正直なところ、
両校のデメリットメリットを調べて比べてみても決めかねています。
皆さんでしたらどちらがいいと思いますか?もしよければ教えてください

ちなみに両校のメリット、デメリットは下記のようでした。
・駿台
○座席指定制
○実績がいい
(ただし実績は個人の問題だと思うのであまり加味しないことにしました……)
○駿台は理系に秀でている(?)
(昔の話だ、という人も多数いて、判断しかねます)
×クラスの人数が多く机が狭い
(クラスの人数はわかりませんが、机が狭いのは試験の時に窮屈だと痛感しました)

・河合塾
○駿台と比較すると少人数、それから個別サポートが充実
○実際に授業を受けたことがあるので、安心
×ただその体験授業のときに、講師の方の説明がよくわかりませんでした。
講師の方の質は実際どれほどのものなのか、
よほど酷い先生に当たったのか、が今一わかりません
×座席指定
×河合なら文系(?)(ただこれも昔の話だという人もいて……)

私は前期は東北大学の工学部志望です。
駿台からは「ハイレベル東北大理系」「スーパー東北大理系集中」
河合塾からは「ハイレベル東北大英語強化/数学強化/理科強化/特別強化」
の受講認定がきています。
(他にも認定は来ていますが関係なさそうなのは省きました)
私立は経済上の理由から行く予定はありません。
また、同じく経済上の理由から浪人も一年のみです。
一年の浪人なので、授業料に関しても両親からは了解を取っています。
安価なほうがいいのですが、、授業料よりも志望校への
適不適を重視したいと思っています。

これを踏まえて、国公立工学部受験には駿台、河合塾
どちらの、どのコースが適しているでしょうか、教えてください
よろしくお願いします

はじめまして、私は現在高校三年生(今春卒業予定)のものです。
今年は前期で失敗したら浪人する予定す。
現在私の手元には駿台予備校仙台校と河合塾仙台校から
入学の認定が届いています。ですが、正直なところ、
両校のデメリットメリットを調べて比べてみても決めかねています。
皆さんでしたらどちらがいいと思いますか?もしよければ教えてください

ちなみに両校のメリット、デメリットは下記のようでした。
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○座席指定制
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Aベストアンサー

私は東京で通っていたので、仙台のことは分かりませんので、以下記述することは、あくまでも東京での噂によるものです。
確かに、「文系の河合塾」とよく聞きます。
ただ理系は駿台よりも代ゼミと聞きます(いまは、理系も文系も代ゼミになってきているらしいのですが)。
代ゼミは、考えていないようなので、駿台と河合について書きます。
案内にも書いてあると思いますが、年間授業料には1年間の模試代も含まれています。
三大予備校の中で最も平均的に良問と言われいるのが、河合塾の模試です。
さらに、三大予備校の模試の中で、判定が厳しすぎず、甘すぎないのも河合塾と言われています。
駿台は問題も難しく、判定が厳しすぎると言われています(ちなみに、代ゼミは問題が簡単で、判定も甘すぎる)。
模試は出来るだけ多く受けた方が良いので、三大予備校の模試を出来るだけ多く受けるべきだと思いますが、少なくとも、所属している予備校の模試は受けることになるので、模試の観点からでは河合をお薦めます。
授業で使われているテキスト問題ですが、河合は東大の国語の入試問題をドンピシャ(東大対策講座の国語で問題内容も引用文章も)で当てた実績もあり、また、大学入試の問題を請け負っている数が、最も多いらしいので、河合のテキストで使われている問題は、入試対策としては良い参考書になると思います(テキストにはオリジナルの問題もあるので)。
ただ、駿台は難関大学を目指している人たちが多いので、難関大学である東北大学を受けるつもりなら、そういった意味では、駿台は良い環境の予備校だと思います。
模試も難関大学を受ける人の多くが受けているため、比較的難しく作っていると言うことらしいです。
説明のへたくそな先生は、河合にも駿台にもいます。
説明が分からない場合は、他の先生に聞くという手もあります。
私は、授業では解答を得るためだけに行き、実際の質問はお気に入りの先生に夜遅くまで聞きに行った経験が何度もあります。
ただし、その場合は、失礼にないように担当の先生が不在の時に、聞きに行くようにした方が良いですよ。
まだ、1ヶ月あるので、しっかりと考えて予備校選びはしてください。
ただ、大学に受かるか受からないかはどこの予備校に行ったかではなく、1年間どのくらい勉強したかです。

私は東京で通っていたので、仙台のことは分かりませんので、以下記述することは、あくまでも東京での噂によるものです。
確かに、「文系の河合塾」とよく聞きます。
ただ理系は駿台よりも代ゼミと聞きます(いまは、理系も文系も代ゼミになってきているらしいのですが)。
代ゼミは、考えていないようなので、駿台と河合について書きます。
案内にも書いてあると思いますが、年間授業料には1年間の模試代も含まれています。
三大予備校の中で最も平均的に良問と言われいるのが、河合塾の模試です。
さらに、...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む


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