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A、Bは同じ大きさの正方行列とする。
rankAB ≠rankBA をみたすAとBの例を1つ示した後、
一般に 

(AB)^2 = AB かつ (BA)^2=BA 
ならば、
rankAB= rankBA 

が成り立つことを証明せよ、という問題です。

^2 は2乗の意味です。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

rank AB ≠ rank BA となる例:



A =
  1  -1
  1  -1

B =
  1  1
  1  1

のとき、

AB =
  0  0
  0  0

BA =
  2  -2
  2  -2

だから、

rank AB = 0 ≠ 1 = rank BA。


後半の証明:

一般に rank XY ≦ rank X, rank XY ≦ rank Y であることから、

rank AB = rank(AB)^2 = rank (ABA)B ≦ rank A(BA) ≦ rank BA,
rank BA = rank(BA)^2 = rank (BAB)A ≦ rank B(AB) ≦ rank AB.

すなわち rank AB = rank BA。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
簡潔でわかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/01/19 00:30

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