行列：rankの問題

行列Xの階数をrank(X)で表す。A,Bをn次正方行列としたとき、

(1)不等式
rank(AB)≦rank(B) を示せ。また、等号成立はどういうときに成り立つか。

(2)
AB=0のとき、
不等式 rank(A)+rank(B)≦n
を示せ。

この問題をおしえてください。具体的な行列で考えると成り立っていることはわかるんですが、証明方法に悩んでいます。

No.2 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2013/06/17 07:54

(2)の書き間違い修正：

Bの対角の1の数はrank(B)→B'の対角の1の数はrank(B)

(1)
Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
特にAが正則のときrank(B)=rank(A^-1(AB))≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)
特にBが正則のときrank(A)=rank((AB)B^-1)≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(A)

(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときB'の対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2013/06/17 06:17

(1)

Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)

(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときBの対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)