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斜交座標系における、ある平面に対する垂直ベクトルの求め方

直交座標系ではなく、斜交座標系である平面に対して垂直なベクトルを求める方法について調べています。しかし、数学が非常に苦手なため、なかなか理解が進みません。直交座標系ではある平面に対して垂直なベクトルを求めるためには外積を用いれば一発ですむことは分かっているのですが、これは斜交座標系でも同様なのでしょうか?

物理のかぎしっぽ
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/AffineProds/

こちらでは斜交座標系の外積について扱っていますが、
A→=A1e1 + A2e2 + A3e3
B→=B1e1 + B2e2 + B3e3
としたとき、
C→=A→×B→=(1/V)(A2B3-A3B2)e1 + (1/V)(A3B1-A1B3)e2 + (1/V)(A1B2-A2B1)e3
(ここでVはスカラー量)
となっており、ベクトルの方向的には直交座標系の演算と変わりないように見えます。

このときのC→は、A→とB→を含む平面にたいして垂直なベクトルと考えてよいのでしょうか?
幼稚な質問かもしれませんが、どうかご教授ねがいます。


補足1:当方、材料化学畑のもので、現在三斜晶系(単位格子の各辺の長さがばらばら且つ各軸の成す角は90°ではない)の結晶を扱っておりますので、直交座標系に直すとかではなく、斜交座標系のまま垂直ベクトルを求める方法を探しています。

補足2:とにかく斜交座標系で垂直ベクトルの方向が分かればいいので、ベクトルの大きさとか、求め方等、細かいことは問いません。

補足3:もしよろしければ参考になる書籍やサイトなどを紹介していただけるとありがたいです。

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A 回答 (3件)

>直交座標系に直すとかではなく、斜交座標系のまま垂直ベクトルを求める方法を探しています。



こんなことを言う前に,
「求める方法がわかっているん」だから
斜交座標だろうが,いったん直交座標に変換すればいいのです.
一度理論的に構築してしまえば疑問は解決でしょう.

f1,f2,f1を斜交座標の基底,e1,e2,e3を標準基底だとすれば
(f1,f2,f3)=(e1,e2,e3)A
で変換行列Aが計算できるので
ベクトル x を x= a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 と斜交座標で表現したとして
x = b1 e1 + b2 e2 +b3 e3 と標準基底で表すと
(b1 b2 b3)^T = A(a1 12 a3)^T
なんだから,
ベクトルx と y の斜交座標での外積は,座標変換行列Aと
xとyのそれぞれの座標での成分で表現可能です.
#教養の線型代数の教科書をみれば
#こういう座標変換の話はかならず書いてあります.
#というか・・線型代数の初歩はこの手の座標変換の理論ともいえる

このように抽象的に考えなくても
そもそも斜交座標で表せるということは
斜交座標の成分だってわかってるんだから
普通に成分表示した段階で
それはすでに「標準基底による表現」ですので
そのまま外積をとって,できあがったものを
斜交座標で表現すればいいのでしょう
たとえば
f1=(1,2,3),f2=(0,1,0),f3=(0,0,1)という軸で
f1+f2(この座標では成分は(1,1,0))
f2(この座標では成分は(0,1,0))
である2ベクトルは(標準基底での)成分表示で
(1,3,3)と(0,1,0)
これらの外積を計算すれば
(-3.0,1)
これをf1,f2,f3で表示することを考えると
(-3,0,1)=a(1,2,3)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
= (a,2a+b,3a+c)
だから,a=-3, b=6, c=7
つまり,斜めの軸での成分は(-3,6,7)です.
f1+f2
f2
に同時に直交するベクトルの一つは
-3f1+6f2+7f3
です.
実際,内積をとると
f1=(1,2,3),f2=(0,1,0),f3=(0,0,1)を考慮して
(-3f1+6f2+7f3, f2)
=((-3,0,1), (0,1,0))=0
(-3f1+6f2+7f3, f1+f2)
=((-3,0,1), (1,3,3))=0
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます!

斜交座標にこだわるあまり、盲目になっていたようです。
たいへん参考になりました!

お礼日時:2010/04/29 15:10

外積を求めればよい という点では、同じです。



斜行座標系だと、
基底ベクトルと基底ベクトルの外積が、
直交座標系よりは込み入った成分表示になる
というだけのことです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

やはり外積を求めればいいのですね!

お礼日時:2010/04/29 15:05

そのページをよ~く見てほしいのですが, 実は式(1)~(3) では左辺と右辺でベクトルの種類が入れ替わっています (左辺が共変ベクトルなら右辺は反変ベクトル, 左辺が反変ベクトルなら右辺は共変ベクトル).


つまり, A や B を表すために使っている e1~e3 と C を表すために使っている e1~e3 は基本的に別物です.

この回答への補足

そうなのですか…。eの添え字が同じだったので最初の式と最後の式のベクトルは同じものだと思っていました。

結局、この外積の結果では面に垂直なベクトルは求められるのでしょうか?

補足日時:2010/04/28 19:19
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