一次従属の問題

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質問者：mimimaru
質問日時：2002/11/05 00:42
回答数：4件

「３個のベクトル
　Ａ＝（１，１，１）
　Ｂ＝（１，－２，３）　
　Ｃ＝（２，１，ａ）　が1次従属であるためには，ａはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。　　

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回答 (4件)

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No.3ベストアンサー

回答者： Mell-Lily
回答日時：2002/11/05 09:25

【線形独立と線形従属の定義】

K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
　a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn=0
を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が、
　a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
　xA+yB+zC=(0,0,0)
　(x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
　xA+yB+zC
　=x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
　=(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
　=(0,0,0)
より、
　x+y+2z=0 … (1)
　x-2y+z=0 … (2)
　x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
　3y+z=0
　∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
　(a-2)x+(a-6)y=0
　∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
　x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
　x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
　{-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
　x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
　-6+4/(a-2)=0
　∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
　x=5, z=-3
であるから、
　xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
　a=8/3 … (Ans.)

参考URL：http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.h …

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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。
どうやって解けばいいかが良くわかりました。

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お礼日時：2002/11/05 20:33

No.4

回答者： oshiete_goo
回答日時：2002/11/05 10:18

#2ですが, 補足訂正です.

#2の回答中
＞となる実数s,tが存在することである.
と書きましたが, この問題においては十分なのですが，定義からすると，完全に一般的には
＞となる定数s,tが存在することである.
とするべきでした(複素数s,tでスカラー倍を考えている)．
訂正いたします．

また＃３のご回答中
＞線形独立(linear independent)、
＞線形従属(linear dependent)であるという
とありますが，（多くの人が参照するので，正確を期するために申し添えると）

それぞれ
線形独立(linearly independent)　[←線形独立な]
線形従属(linearly dependent)　[←線形従属な]
となります．

ただし，independent，dependentはいずれも品詞は形容詞で，（名詞形ではありません）ほとんどこの形容詞形で表現されます．