一本のベクトルに直交するベクトルについて

あじぽんと申します。質問があります。

３次元空間にベクトルＡが一本だけあるとします。
さらにベクトルＡに直交するベクトルがいくつもあるとします。

ベクトルＡの座標がわかっている時に、
ベクトルＡに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/09/23 22:34

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「３次元空間にベクトルＡが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルＡの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。（上記で言った、向きと大きさ（始点と終点の関係）のことです。）


とはいえ、
成分が（ａ１、ｂ１、ｃ１）という３次元ベクトルがあるとしましょうか。
それに垂直なベクトルの成分を（ａ２、ｂ２、ｃ２）と置きます。
このとき、両者の内積はゼロになるわけですから、
ａ１，ｂ１，ｃ１，ａ２、ｂ２、ｃ２には、次の関係が成り立ちます。

内積　＝　ａ１・ａ２　＋　ｂ１・ｂ２　＋　ｃ１・ｃ２　＝　０

＞＞＞ベクトルＡに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか？

上の式を満たすようなベクトルを作ればよいだけです。
たとえば、ｂ２とｃ２をゼロにしちゃえば、いとも簡単に１つ作れます。


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

>「空間にベクトルがある」
>という言葉自体がおかしいです。

>ベクトルには座標というものは存在しません。
>成分があるだけです。（上記で言った、向きと大きさ（始点と終点の関係）のことです。）

数学を理解されている方が私の質問を読んだ時に、一瞬思考が止まって「？」となったかもしれなかったのでしょうか。...すいませんでした。
ご回答を頂けたおかげで疑問を解決することができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/24 08:55

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/09/23 22:00

それは簡単にできますよ。

たとえば、
A=(a1,a2,a3)
X=(x1,x2,x3)
とします。
X・A=0ですから、
a1x1+a2x2+a3x3=0
を満たすX=(x1,x2,x3)がAに直交します。
もっと詳しく言えば、a1≠0としたとき、
x2,x3を任意に与えて、x1=(-a2x2-a3x3)/a1とすればよいですね。

この回答へのお礼

> もっと詳しく言えば、a1≠0としたとき、
> x2,x3を任意に与えて、x1=(-a2x2-a3x3)/a1とすればよいですね。

すばやいご回答、ありがとうございました。
内積な関係の式を変形して求めればよかったのですね。

本当にありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2008/09/24 08:47