二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

(1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。
(2)(1)の交線と点(0,1,0)とを通る平面の方程式を求めよ。

解答よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： 151A48 回答日時： 2012/06/23 00:44

（１）ｘ＋２ｙ－ｚ－４＝０

ｘ－ｙ＋２ｚ－４＝０
をｘ，ｙの連立方程式として解くと
ｘ＝－ｚ＋４　（ｚ＝-ｘ＋４）
ｙ＝ｚ
よって-x+4=y=z

（２）　（－１，１，１）はこの交線の方向ベクトル
　　　（４，０，０）はこの交線上にあり，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（４，－１，０）
　　　２つのベクトル（－１，１，１），（４－１，０）に垂直なベクトル（１，４，－３）を求めて，これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を（ｘ，ｙ，ｚ）とすると，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（ｘ，ｙ－１，ｚ）は
（１，４，－３）と垂直より
ｘ＋４（ｙ－１）－３ｚ＝０
∴　ｘ＋４ｙ－３ｚ－４＝０

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました！
とても参考になりました！

お礼日時：2012/06/23 01:40

No.3 回答者： zeta0208 回答日時： 2012/06/23 00:51

(1)

z=tと置いて
x+2y-t-4=0
x-y+2t-4=0

この2元連立方程式をを解いて

x=-t+4
y=t
z=t
但し、tは任意の実数

これが直線の式である。必要に応じてt=(x-a)/l=(y-b)/m=(z-c)/n の式で表してもOK
教科書にも載っているとは思うが(2)を説明するのにあえて解答を載せました。

(2)
tに適当な数を与えた直線上の2点と問題の(0,1,0)の3点を含む平面を求めればよいと思う。
tに与える適当な数は
t=0 の時　(4,0,0)
t=4 の時　(0,4,4) くらいが計算しやすいと思う。

つまり3点(4,0,0) (0,4,4) (0,1,0)を含む平面をax+by+cz+d=0と置いて求めればよい。

3点を含む平面の求め方は教科書、参考書を見てください。まあネットでも「平面の方程式」くらいで検索できるとおもう。

この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです！
理解できました！

お礼日時：2012/06/23 01:41

No.1 回答者： 151A48 回答日時： 2012/06/23 00:44

（１）ｘ＋２ｙ－ｚ－４＝０

ｘ－ｙ＋２ｚ－４＝０
をｘ，ｙの連立方程式として解くと
ｘ＝－ｚ＋４　（ｚ＝-ｘ＋４）
ｙ＝ｚ
よって-x+4=y=z

（２）　（－１，１，１）はこの交線の方向ベクトル
　　　（４，０，０）はこの交線上にあり，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（４，－１，０）
　　　２つのベクトル（－１，１，１），（４－１，０）に垂直なベクトル（１，４，－３）を求めて，これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を（ｘ，ｙ，ｚ）とすると，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（ｘ，ｙ－１，ｚ）は
（１，４，－３）と垂直より
ｘ＋４（ｙ－１）－３ｚ＝０
∴　ｘ＋４ｙ－３ｚ－４＝０