【数学】2平面の交線と原点を通る平面の問題

下の2つの平面と原点を通る平面の方程式を求める問題です。
2x-y+2√2z=4a
-2x+y+2√7z=6a
解法を教えて頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/18 20:33

>下の2つの平面「の交線」と原点を通る平面の方程式を求める<

とする。

まず、与えられた平面に平行で原点を通る平面では
A₁x+B₁y+C₁z=0 , A₂x+B₂y+C₂z=0・・・・①
となる。ここで
l=B₁C₂-B₂C₁=-1・2√7 - 1・2√2 = -2(√7+√2)
m=C₁A₂-C₂A₁=2√2・(-2) - 2√7・2 = -4(√7+√2)
n=A₁B₂-A₂B₁=2・1 - (-2)・(-1) = 0
となり、①の交線は公式から

x/l=y/m=z/0・・・・・②
となる。この直線は元の２平面の交線と平行だから、もとの交
線の式を求めるには、通過するある１点を求めればよい。ここ
で ②からz方向の変化はなく、この交線はx,y軸を通過する。つ
まり、x=0 か y=0 となる点を含む。

そこで、y=0となる、交線の座標を求めるため、元の平面の式
で、y=0として、x,zを求めればよい。すなわち

2x+2√2z=4a → x+√2z=2a
-2x+2√7z=6a → -x+√7z=3a
を解くと

D=1・2√7-2√2・(-1)=2(√7-√2)
x=(2a√7-3a√2)/D=(2√7-3√2)a/D=(8-√14)a/10
z=(3a+2a)/D=5a/D=(√7+√2)a/2

この座標を改めて
(x₀,0,z₀)=((8-√14)a/10, 0, (√7+√2)a/2)
とすると、元の2平面の交線は、この点を通る。したがって、
ベクトル外積 <x₀,0,z₀>×<l,m,0> は求める平面の法線になる。

<l,m,0>×<x₀,0,z₀>=<mz₀,-lz₀,-mx₀>

したがって、求める平面の式は
(mz₀)x+(-lz₀)y+(-mx₀)z=0
となる。ここで

mz₀=(-4(√7+√2))(√7+√2)a/2 = -2(9+2√14)a
-lz₀=-(-2(√7+√2))(√7+√2)a/2 = (9+2√14)a
-mx₀=-(-4(√7+√2))(8-√14)a/10 = (2/5)(6√7+√2)a
である。


なお、a=0のときは、交線が原点を通るので、求める平面は一
意に定まらず、交線を含む平面を交線周りに回転してできる平
面すべてである。　が、面倒なのでやめる。