ベクトルについて。

△ABCにおいてAB=√7,BC=3,CA=2,CA↑=a↑,CB↑=b↑とする。

(1)直線ABと点Cからその直線に下ろした垂線との交点をHとするとき、CH↑をa↑,b↑を用いて表せ。
(2)点Cと△ABCの外心Oを通る直線が、直線ABと交わる点をQとするとき、CQ↑をa↑,b↑を用いて表せ。
教えていただけると幸いです。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/18 14:47

後の計算で使うので、a↑・b↑を求めておく

方法①　余弦定理からcosCを求めて、|a↑|*|b↑|*cosC
方法②　(a↑-b↑)・(a↑-b↑) の計算から

(1)
CH↑=sa↑+(1-s)b↑として、これが b↑-a↑ と直交することを条件として s を決定

(2)
CO↑= s*a↑+t*b↑ として、s,t を求める
方法①
　CAの中点をM、CBの中点をN とすると
　OM⊥CA、ON⊥CB の条件を使う
方法②
　|OC|=|OA|=|OB| の条件を使う

CO↑が決定できたら s+t を計算
CQ↑=(s/(s+t))a↑+(t/(s+t))b↑

CQ↑=k*CO↑=ks*a↑+kt*b↑で
QがAB上にあるから ks+kt=k(s+t)=1 なので
k=1/(s+t)

この回答へのお礼

(1)から、もう少し詳しく教えていただければと思います。大変恐縮ですが。

お礼日時：2018/10/18 15:48

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/18 17:21

（１）

ＢＡ↑＝a↑ーb↑
CH↑＝a↑＋ＡＨ↑
ＡＨ↑＝－１/√７(a↑ーb↑)から
CH↑＝a↑－１/√７(a↑ーb↑)＝（７ー√７）/7＊a↑＋√７/7＊b↑
（２）
つづく

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/18 18:37

（１）

ＢＡ↑＝a↑ーb↑
CH↑＝a↑＋ＡＨ↑
ＡＨ↑＝－１/√７(a↑ーb↑)から
CH↑＝a↑－１/√７(a↑ーb↑)＝（７ー√７）/7＊a↑＋√７/7＊b↑
（２）
ΔＡＢＣの外心円と点Ｃと外心Ｏを通って交わる点Ｑ’とするとΔＡＣＱ∽ΔＢＱＱ’
ＡＣ：ＢＱ’＝２：１/√３＝ＡＱ：ＱＢ・・・①
ＡＱ＋ＱＢ＝√７から①へ代入すると
２：１/√３＝ＡＱ：（√７ーＡＱ）より
ＡＱ＝２√７（６－√３）/11
CQ↑＝a↑＋ＡＱ↑
ＡＱ↑＝－２√７（６－√３）/11(a↑ーb↑)から
CQ↑＝a↑－２√７（６－√３）/11(a↑ーb↑)
　　＝（１１－２√７（６－√３））/11＊a↑＋２√７（６－√３）/11＊b↑

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/18 23:50

(1)

CH↑=sa↑+(1-s)b↑として、これが b↑-a↑ と直交

(sa↑+(1-s)b↑)・( b↑-a↑) =0
-4s+9(1-s)+(2s-1)*(a↑・b↑)=0
6-7s=0

No,2様
|AH↑|=1/√7 ですが
|a↑ーb↑|=√7なので
ＡＨ↑＝(－１/√７)(a↑ーb↑) とはならず
ＡＨ↑＝(－１/７)(a↑ーb↑) となりませんか？

No.5 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2018/10/19 07:33

No.4の 20170130氏の指摘に基づき(1)の解答を示す。

　なお質問者が

　　①余弦定理
　　②点A、点H、点B が一直線上にある条件
　　③a↑と b↑は点C を始点とする位置ベクトルである
　　（位置ベクトルは始点が重要となる）

のうち、どれか１つでも理解していないようであれば以下を読む必要はない。時間のムダである。

　cosC を求めるのに余弦定理を利用する。
　　√(7)^2 = 3^2 + 2^2 - 2*3*2cosC.
　　12cosC = 6.
　　∴cosC = 1/2.

　　a↑･b↑ = |a↑||b↑|cosC = 2*3*(1/2) = 3.

　題意より(b↑-a↑)とCH↑は直交するから、実数 s を用いて
　　CH↑= sa↑+ (1-s)b↑
とすれば
　　(b↑- a↑)･(sa↑+ (1-s)b↑)
= sa↑･b↑- s|a↑|^2 + (1-s)|b↑|^2 - (1-s)a↑･b↑
= 3s - 4s + 9(1-s) - 3(1-s)
= -7s + 6 = 0.
　　∴s = 6/7.
　したがって
　　CH↑= (6/7)a↑+ (1/7)b↑.

　なお、これ以上詳しく教えられないし、噛み砕いた説明もできない。
　大変恐縮だがwwww。

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/19 08:10

＃４さまのご指摘の通りです。

以下に訂正いたします。
（１）
ＢＡ↑＝a↑ーb↑
CH↑＝a↑＋ＡＨ↑
ＡＨ↑＝－１/７(a↑ーb↑)から
CH↑＝a↑－１/７(a↑ーb↑)＝（７ー１）/7＊a↑＋１/7＊b↑＝６/7＊a↑＋１/7＊b↑
（２）
ΔＡＢＣの外心円と点Ｃと外心Ｏを通って交わる点Ｑ’とするとΔＡＣＱ∽ΔＢＱＱ’
ＡＣ：ＢＱ’＝２：１/√３＝ＡＱ：ＱＢ・・・①
ＡＱ＋ＱＢ＝√７から①へ代入すると
２：１/√３＝ＡＱ：（√７ーＡＱ）より
ＡＱ＝２√７（６－√３）/11
CQ↑＝a↑＋ＡＱ↑
ＡＱ↑＝－２（６－√３）/11(a↑ーb↑)から
CQ↑＝a↑－２（６－√３）/11(a↑ーb↑)
　　＝－（１＋２√３））/11＊a↑＋（１２－２√３）/11＊b↑

No.7 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/19 08:52

失礼を承知で#6様

相似の対応関係はOKですか
△ACQ と △BQQ' で
A↔Q'
C↔B
Q↔Q
のように思えるのですが

そうだとすると
AC:Q'B=AQ:Q'Q=CQ:QB≠AQ:QB だと思います

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/19 11:55

＃７さまのご指摘の通りです。

以下に訂正いたします。
（１）
ＢＡ↑＝a↑ーb↑
CH↑＝a↑＋ＡＨ↑
ＡＨ↑＝－１/７(a↑ーb↑)から
CH↑＝a↑－１/７(a↑ーb↑)＝（７ー１）/7＊a↑＋１/7＊b↑＝６/7＊a↑＋１/7＊b↑
（２）
ΔＡＢＣの辺ＣＡをｘ軸とみなして点Ｃを原点座標（０，０）、点Ａを座標（２，０）として1次関数の交点からＱ座標を求めます。
そうすると点Ｂ座標は（３/2,3√３/2)です。
点Ａと点Ｂを通る直線はｙ＝－３√３ｘ＋６√３・・・①
原点ＣとＱ’を通る直線はｙ＝√３ｘ・・・②
①、②の交点Ｑの座標は（１８/11,１２√３/11)です。
これから、AＱを求めると8√7/11になります。
この結果から
CQ↑＝a↑＋ＡＱ↑
ＡＱ↑＝－８/11(a↑ーb↑)から
CQ↑＝a↑－８/11(a↑ーb↑)
　　＝３/11＊a↑＋８/11＊b↑
です。

この回答へのお礼

(1)の、AH↑=-1/7(↑a-↑b)はどうやって求めたか、教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

お礼日時：2018/10/19 20:57

No.9 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/20 07:17

>(1)の、AH↑=-1/7(↑a-↑b)はどうやって求めたか、教えていただけると幸いです。

ΔＣＡＨとΔＣＢＨはＣＨを共通にする直角三角形なので、三平方の定理からＡＨ＝ｘとして
ＣＨ²＝２²－ｘ²＝３²－（√７－ｘ）²からｘ＝１/√７が求まります。
ＢＡ↑＝(a↑ーb↑)から
ＡＨ↑＝－１/√７(a↑ーb↑)と考えたのですが
ＡＨ↑・ＡＨ↑＝１/7=－１/√７(a↑ーb↑)・－１/√７(a↑ーb↑)＝１/7・７＝１となって不合理です。
(a↑ーb↑)・(a↑ーb↑)＝７なのに(a↑ーb↑)・(a↑ーb↑)＝１と勘違いしていました。
ＡＨ↑＝－１/７(a↑ーb↑)とすると
ＡＨ↑・ＡＨ↑＝１/７=－１/７(a↑ーb↑)・－１√７(a↑ーb↑)＝（１/４９）・７＝１/7となって正しくなります。

この回答へのお礼

すみません。最後の行の、=-1/7(↑a-b ↑)-1√7(a ↑-b ↑)は、=-1/7(↑a-b↑)-1/7(a↑-b↑)ではないのでしょうか？失礼を承知でいっています。すみません。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2018/10/20 15:13

No.10 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/20 15:23

そうです。

ご指摘の通りです。
誤：ＡＨ↑・ＡＨ↑＝１/７=－１/７(a↑ーb↑)・－１√７(a↑ーb↑)＝（１/４９）・７＝１/7となって正しくなります。
正：ＡＨ↑・ＡＨ↑＝１/７=－１/７(a↑ーb↑)・－１/７(a↑ーb↑)＝（１/４９）・７＝１/7となって正しくなります。

この回答へのお礼

(2)の、原点CとQ′を通る直線とかかれていますが、Q′は、Bの間違いではないのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

お礼日時：2018/10/20 21:08