数II【図形と方程式】の2つの円という範囲で質問があります。 なぜk（x²+y²-4）+x²+y²-

数II【図形と方程式】の2つの円という範囲で質問があります。
なぜk（x²+y²-4）+x²+y²-4x-2y-8となるのでしょうか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/18 08:31

k(x²+y²-4)+x²+y²-4x-2y-8=0

は、k≠-1のとき2つの円の交点を通る円
k=1のとき2つの円の交点を通る直線を表している
のは他の回答の通り。
ただ、これが交点を通る全ての円を表しているか
疑問が残るからそれを求める問題に使うには
きちんと証明が必要。
めんどくさいが普通に交点を求めてから
円の方程式作るのが堅実。
また交点が存在しなくて式が作れてしまうことに注意。
真っ赤な嘘の方程式になるので、交点の存在は別途確認要。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/17 21:14

方程式になって無いぞ。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/17 20:08

＞なぜk（x2+y2B12:B38-4）+x2+y2-4x-2y-8となるのでしょうか？

k(x^2 + y^2 - 4) + (x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0となるのでしょうか？
ですね？
「=0 」のないあなたの式では、何に意味も示しませんから。

円 x^2 + y^2 = 4 の円上にある (x, y) は
　x^2 + y^2 - 4 = 0　　　　①
を満たします。同じ式ですからね。

同様に、円 x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8 = 0 の円上にある (x, y) は
　x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8 = 0 　　　　②
を満たします。

ということは、2つの円の交点である (x, y) は、任意の p. q に対して
　p(x^2 + y^2 - 4) + q(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0　　　　③
を満たすことは分かりますか？
2つの円の交点を (a, b) とすれば
①より　a^2 + b^2 - 4 = 0
②より　a^2 + b^2 - 4a - 2b - 8 = 0
ですから、p, q が何であっても
③より　p(a^2 + b^2 - 4) + q(a^2 + b^2 - 4a - 2b - 8) = 0　　　　④
が成り立ちますよね。

p = q = 0 なら (a, b) が何でも④が成り立ってしまうので、(a, b) を求めるには
　p ≠ 0
　q ≠ 0
とします。そうすれば、未知数が2つよりは1つの方が扱いやすいので
　k = p/q ≠ 0
として、③を
　k(x^2 + y^2 - 4) + (x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0　　　　⑤
と書きます。

これがお示しの式ですよね？
2つの円の交点を (a, b) とすれば、ちゃんと
　k(a^2 + b^2 - 4) + (a^2 + b^2 - 4a - 2b - 8) = 0　　　　⑤’
が成り立ちますよね。

つまり、2つの円の交点は⑤を満たす (x, y) である、ということです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/17 20:07

「何が」 k（x²+y²-4）+x²+y²-4x-2y-8 となる話をしてんのか？

が謎なんだけどな。 大丈夫か？

写真の問題に関係ありそうな話をしとくと...
定数 a, b を置いて a f(x,y) + b g(x,y) = 0 で表される曲線は、
f(x,y) = 0 で表される曲線と g(x,y) = 0 で表される曲線の交点を全て通る。
なぜかというと、f(x,y) = 0 と g(x,y) = 0 が成り立つような点 (x,y) では
a f(x,y) + b g(x,y) = 0 が成り立つからだ。

もちろん、f(x,y) = 0 と g(x,y) = 0 の交点を全て通る曲線が
どれでも a f(x,y) + b g(x,y) = 0 と書けるわけではない。
逆は成り立たない。　←[＊]

さて、 k（x²+y²-4）+x²+y²-4x-2y-8 = 0 という式は、
k （x²+y²-4） + h （x²+y²-4x-2y-8） = 0 という式の
h を h = 1 に限定したものである。
この式が表す曲線も、x²+y²-4 = 0 と x²+y²-4x-2y-8 = 0 の
交点を全て通る。

x²+y²-4 = 0 と x²+y²-4x-2y-8 = 0 の交点は 2点だから、
問題文の「２つの円の２つの交点を通る」という文言に適応する。
あとは、
(1) k（x²+y²-4）+x²+y²-4x-2y-8 = 0 が点(-2,1) を通るような k を見つける
(2) k（x²+y²-4）+x²+y²-4x-2y-8 = 0 が直線になるような k を見つける
と答えが得られる。

この解法の一番大きな問題は、[＊] の時点で
その解だけで全ての解だと言えるのか？ という疑問が生じる点だ。
ここを言及しない受験参考書は多いが、数学としては大問題だ。

その解決は、(1) も (2) も解がひとつであることが
幾何学的に既知であるということ。
解がひとつと予め判っていれば、ひとつ解を見つければ十分なのだ。