円の中心の求め方

1　真円である
2　直径は分からない
3　手元には2本の曲尺と鉛筆だけである

今日　ホームセンターの工作室で見てしまったのですが、直径7-8㎝の円盤の中心点を
簡単に導き出している人を見かけました。
4枚の円柱（厚さ20ｍｍほど）の個々に作図して中心を求めているとは思いもしなかったのですが、
作図したそこに15ｍｍの穴を空けたいとのことだったので　センターポンチを出して　中心点をう凹ませて　卓上ボール盤も使ったことがないとのことで　少しだけ作業を手伝いました。
興味津々…出来上がった4枚の円盤の穴に　15ｍｍの木の棒を差し込み中心のブレを確認しましした。
なんと、4枚の円盤は見事に中心に穴が開いているのです。

円に書かれた作図は　
1　円周に接した直線
2　もう一本は　先に引いた線と交わる直角に近い（直角ではない）直線　これも円周に接している。
3　それぞれの円周に接した一点から垂直に線を引き
4　その交わった点を中心だと言うから・・

煩悩な私には理解できません
理論を教えてくださいお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/07/17 20:34

円周の2点と中心の3点で出来る△は2等辺△。

同じ要領で2等辺△を合計2個作る。

底辺の垂直2等分線が交わる点が、円の中心。

2等辺△だから、交わった点と△の残り2点までの距離が等しい。
△が2個あるから、交わった点と4点までの距離が等しい。

1点からの距離が等しい点の集合は円周。
解り易くる為、下図では△を重ねてます。
（重なって無くてもok)

この回答へのお礼

ありがとうございます
謎が解けました。

先の回答者様は接線、接点と記載があり方法としては　日常使うのですが＃２さんの作図2つ目の様に誤差がどうしても発生してしまいます。

今日お会いした方は、自信をもって　ここが中心です。　
と言い切ったもので不思議で仕方なかったわけです。

t_fumiakiさまの作図を見て、これだ！　と思いました。

最初に青線を引くとすれば　そこの直線距離を6ｃｍに決めて引く、そして3ｃｍの位置から垂線を引く。　
緑線も同様に中心点に近い位置に直線を引く（これは直線の始点・終点の距離がより確実なため垂線の中心が確実に出せる）

先の回答者様から頂いた図にもあったが、
接線から得ることができる接点は理論上は点ではあるが、現場で作業するには　おおよその場所でしかない・・・
それに比べれば自分で距離を決めてその中心を割り出し90度の線を引けば確実に中心点を通ることができる。

ホームセンターの現場の職員さんにも4個の穴あき円柱と作図跡を見てもらって理由を聞いたが　答えは返ってこなかったです。

解決しました　ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/17 22:22

No.6 回答者： mocmoc 回答日時： 2022/07/18 10:49

ちょっと走り読みで解釈が間違っているかもしれませんが

弦abや弦acなど、弦の中点から円芯に向かって垂線を引けば必ず円の中心点を通過するので、2本の弦から円の中心は求められます。

そういう図を描いたということではないですかね？

円周角の定理でも弦長二等分点からの垂線でも、どちらのパターンも
「サシガネが直角とは限らない」時点で精度は怪しいということです。
しかしそれは図面上（数値上）のレベルの話ですよね。
現物が「ぴったり中心に」といってもどの程度ズレてるかは目の錯覚レベルです。
引いた線の精度よりも、線または点を正確に中心とした穴を開けられるかの方が重要です。

図の添付方法について
スマホでもアプリではなくブラウザで尚且つPCモードで画面を見ているので、テキストを書き込むエリアの下にカメラのアイコンがあり、そこをクリックすると画像を添付できます。
確かファイルサイズと画像寸法（横のドット数）に縛りがあったと思いますが、自分ははじめから400ドット前後に縮小してアップロードしてます。
CADからの場合はjpegなどの画像ファイルとして出力した上で添付になるでしょう。
投稿環境が不明なので大雑把な説明ですが。

この回答へのお礼

ありがとうございます

過去に円盤の中心に穴明をした経験があり　一度たりともいい加減な中心点しか引くことができなかったことが頭にあり　斬新な方法に驚いた次第です

知る限り作業場で出来る　手っ取り早く尚且つ確実な　もっとも優れた作図ではなかろうかと思った次第です。

図の添付方法
ありがとうございます
普段触らないもので、作図とファイル　その辺りから学んでみます
ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/18 21:42

No.5 回答者： mocmoc 回答日時： 2022/07/18 02:18

No.4です。

図を補足しておきます。

細い線での円周角60度では、中心角は120度。
この円周角が広がっていき90度(差金の角)になると、中心角は180度になる。

この回答へのお礼

mocmocさま　ありがとうございます
＃４と合わせてお礼にさせていただきます
中心点を求める基本的な作図は　いくつか身についているつもりです。
円周角の定理も検索しました理解しました。

＃３さまでも書きましたが、接点をCADなどで描けば点としていかなる角度の接点をも点の位置を拾い出してくれます。
現場大工さんは巧みに墨ツボ、差し金を使って作図されていることもユーチューブでも見ますし存じています。
ただホームセンターのそれが大工さんの私物のそれと違うことは、十分ご承知かと思います（正確な90度は一本たりとも無い）

さて本題です。
昨日お会いした方は　お医者様だそうです。DIYには全く興味を示さない方が、円柱に近い円盤に作図をしたのは、4個とも同じ形状ではなかったことに興味を持ったわけです。

作図をお借りして申し訳ありませんが
まず、線AB(太線）と　ab（細線）を比べれば円周との接点は　鉛筆書きの場合　中心点に近づくほど明確に点を把握できるということです。

また、作図の点（c）と中心点（Ｏ）を結ぶ延長線にある線（ａｂ）との接点は「直角」である　とともにab間の中心であることが、この方の理論のようです。同じようにaｃ線上の中心を求め　そこから垂線を引けば線Obの線上に至る。

結果：中心に近い任意（2で割ることができる単位）の点を求め直線を引き　その中心点を求め、垂線を引く
もう1本45度ほど離れた場所に同じ要領で線（ac）を引き中心点から垂線を引けば先に引いた垂線と交差する点は直角に近くなることで　鉛筆書きでも中心点であることが明確に解る

この場合　円周角も中心角も度外視した作図であると　私は理解したのですが・・・如何でしょうか？

いつもmocmoc様の他の方への回答を見るにつけ　一人でうなずき納得しております
これからも　よろしくお願いします。

出来ましたら作図の添付方法をお教えいただきましたら光栄です
CADからでも引用できるのでしょうか？

お礼日時：2022/07/18 09:31

No.4 回答者： mocmoc 回答日時： 2022/07/18 02:02

「円周角の定理」ですね。

差金使う上では覚えておきたい知識です。

差金は直角工具ですから、円の外周に角を当てると、長辺と短辺が外周に交わったところを結ぶと「円の直径」になります。
ということは
円の「直径線が2本交わる所は円の中心」なので、中心がわかる。

解説は
円周角は
円の外周3点a,b,cをそれぞれ直線で結ぶ。
中心点とb,cもそれぞれ結ぶ。
するとaの内角(円周角)はb-中心点-cで出来た直線の外周側の角度(中心角)と1：2の関係になる。
ぶ、文章だと難しい・・・


a(円周角)が30度だと中心角は60度ということ。
で、円周角が90だと中心角は180度ということになります。
中心角(b-中心点-c)が180度ということは、円の中心を通る直径ということですよね。

で、先の説明に戻り「直径2本の交点は円の中心」となります。

円周角の定理 で検索すればそのほうが早いかなと。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/17 19:46

これは幾何学の話であって、煩悩とは関係ないからご安心を。

　「円周に接した直線」を「接線」と言います。円の場合、接線はどれも、円の直径と直角に交差します（左図）。ですから
●接線を描いて、それと「垂直に線を引」いたものを直線Aとすると、直線Aは（円の直径になるから）必ず円の中心を通ります。
● もう一本、別の「接線を描いて、同じように直線Bを作図すれば、これも円の中心を通ります。
●直線Aも直線Bも円の中心を通る、ということは、直線Aと直線Bの交点が円の中心だということです。

以上が原理です。

　さらに、AとBのなす角度が小さいと、交点の位置の精度が悪くなります。作図のほんのちょっとの誤差でも、交点の位置が大きく動いてしまう。AとBのなす角度が直角に近いときに、最も誤差が小さくなる。
　だから2本目の接線は「直角に近い」ように描いたんですね。

　もっと精度を出すこともできます。それにはA, Bの2本より、もっとたくさんの直径を作図するんです。3本目の直線Cを描けば、ABの交点、BCの交点、CAの交点、と3つの交点ができる。作図に誤差がなければ、これら3つの点は一致するはずですが、実際には誤差のために少しずれるでしょう（右図）。さらに4本目を描けば6個の交点、5本目を加えると10個の交点ができます。これらを眺めてみて、交点の場所がよく集まっているところの真ん中を中心だと見定めれば良い、というわけです。

この回答へのお礼

図解入りで大変恐縮しています
ありがとうございます。
＃１さんにもお礼で書き込みましたが　接線　接点がない状態　円の中だけでの作図ですので
＃３さまが書き込んでいただいた二等辺三角形の理論が近いかな・・・と思っています。
せっかく作図で時間をとって頂きながら、質問文章の至らなさ誠に申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/17 21:32

No.1 回答者： head1192 回答日時： 2022/07/17 19:29

１、２、

円の接線と円周との接点から垂線Ａを伸ばすと、必ず円の中心を通る。
（それはつまり「直径」「半径」だから）
ただしこのままでは垂線Ａのどこが円の中心なのか分からない。

３、４、
そこで、同じ手順で別の点からもう一本垂線Ｂを伸ばす。
垂線Ａも垂線Ｂも円の中心を通るのだから、円の中心は２本の垂線が交わるところ以外にあり得ない。

この回答へのお礼

早速ありがとうございます
接線の接点から垂線を伸ばせば中心点を通る
＃２さまが図解していただいたので　理解出来ましたが
その方の作図は　円柱という物体の中の円の中だけで作図されている
ので接線自体が無いと言えます。

お礼途中ですが、
＃３さまから頂いた回答に興味があります

ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/17 21:22