△ABCの重心をGとする。 このとき、 AB^2 +BC^2 +CA^2 = 3(AG^2 +BG^

△ABCの重心をGとする。
このとき、
AB^2 +BC^2 +CA^2 = 3(AG^2 +BG^2 +CG^2) が成り立つことを示せ。

この等式に関してベクトルでのやり方以外での証明の仕方を教えて欲しいです…

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 07:38

点Aから辺BCに下ろした線との交点を点L、点Bから辺ACに下ろした線との交点を点M、点Cから辺ABに下ろした線との交点を点Nとすると、重心の性質から、点L,M,Nはそれぞれ辺BC,AC,ABの中点である。

よって、中線定理より、

GB^2 + GC^2 = 2(GL^2 + BL^2)
GA^2 + GC^2 = 2(GM^2 + CM^2)
GA^2 + GB^2 = 2(GN^2 + AN^2) が成り立つ。・・・①

ここで、点Gは直線AL,BM,CNをそれぞれ2:1に内分する点であるから、

AG:GL=2:1より、GL=(1/2)AG

同様に、GM=(1/2)BG, GN=(1/2)CG が成り立つ。・・・②

また、BL=(1/2)BC, CM=(1/2)AC, AN=(1/2)AB である。・・・③


①より、

2(GA^2 + GB^2 + GC^2) = 2(GL^2 + BL^2) + 2(GM^2 + CM^2)
+ 2(GN^2 + AN^2)

これと②、③より、

2(GA^2 + GB^2 + GC^2) = 2( (1/4)AG^2 + (1/4)BC^2) + 2( (1/4)BG^2 + (1/4)AC^2) + 2( (1/4)CG^2 + (1/4)AB^2)

2(GA^2 + GB^2 + GC^2) = (1/2)( (AG^2 + BC^2) + (BG^2 + AC^2) + (CG^2 + AB^2) )

4(GA^2 + GB^2 + GC^2) = (AG^2 + BC^2) + (BG^2 + AC^2) + (CG^2 + AB^2)

∴AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC)^2