軌跡の問題です。 放物線y＝x^2+1と直線y＝axが異なる 2点、P、Qで交わるような実数aの値の

軌跡の問題です。

放物線y＝x^2+1と直線y＝axが異なる 2点、P、Qで交わるような実数aの値の範囲を求めよ。このとき、線分P Qの中点Mの軌跡を求めよ。

解答、解説お願いします。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/10 12:04

１つめ

交点を求めに行く意識で
放物線の式と直線の式を連立方程式にしてあげる
放物線のyに直線の式を代入で
ax=x²+1
⇔x²-ax+1=0…①
この2次方程式の解が交点のｘ座標なんで
交点がことなる２つ（P,Q)となるためには
①が異なる２つの実数解を持たないといけない
ということは　判別式：D=a²-4>0
⇔(a+2)(a-2)>0
∴a<-2,2<a・・・答え

次にPのｘ座標をα、Qのｘ座標をβとおくと
Pの座標は(α,α²+1)
Qは　Q(β,β²+1)
Mの座標をM(x,y)とすると、中点の公式から
x=(α+β)/2⇔α+β=2x…②
y={(α²+1)+(β²+1)}/2=(α²+β²+2)/2…③
①、②からつなぎの文字となっているα、βを消去して　x,yだけの式にすることを目指す
α²+β²=(α+β)²-2αβ＝(2x)²-2αβ
そして　①の2解がαとβなんで解と係数の関係より
αβ=1
ゆえに
y=(α²+β²+2)/2
={(2x)²-2αβ+2}/2
={(2x)²-2+2}/2
=2x²
締めに　除外される点を検討する
①の解と係数の関係から
α+β=a
②から
2x=a
1つ目の課題から　aの範囲が分かっているので
2x<-2,2<2x
⇔x<-1,1<x・…4
このことから　もとめるべき軌跡はy=2x²だがそのすべてが有効ではなくて
有効範囲が④という限定条件が付く
y=2x²　ただし　x<-1,1<xの部分・・・こたえ
（ただし、これだけでは必要条件についてしか考慮していないと思うので
答案を作るときは　計算を逆順にたどるなどして
求めた答えの図形上の点がＰＱの中点であることを確認するべき・・・）