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2つの円の交点を結んだ直線はその2つの円の中心を結んだ直線と直角に交わるという事実はいつ教わるのでしょうか?
センター試験の過去問(2009本試1A第3問)で初めて知りました。もっと前の過去問にも同様の出題があり、些細なことなのですがよろしくお願いします。

なんとなくはわかるのですが、本当にそうなのか?と考え始めるとよくわからなくなってきます。

A 回答 (4件)

「いつ教わるのか?」を聞きたいということならば、


円と二等辺三角形の性質から導けますので、中学生でもいけるのかもしれませんが、遅くとも数1の平面図形の範囲には入るでしょうね。

「直交することの証明」をしたいということであれば、
「円の中心」と「2つの円の交点(2か所)」の三点を結んでできる三角形は、「円の中心」から出る2つの辺が円の半径であることに着目すれば二等辺三角形であることがわかるから、「円の中心」から「2つの円の中心を結んだ直線」への垂線はその直線の中点に下りる。もう一方の円についても同じ。
ことを、図を書きながら確かめてみればわかると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
整然としていてわかりやすい解説有り難うございます。
理屈上はわかりました。

もう少し演習を積んでおきたいと思います。

お礼日時:2013/11/21 14:31

 教科書が手元にないので、はっきりしたことは申せません。

しかし、少なくても中学3年生で「2つの円」という節があればそこで習うのではないかと思います。あるいは、直交することを証明する練習問題や2円が交わる計算問題などで使われます。
 証明は、例えば円の中心をO, O'とし、2円の交点をA, Bとして、OO'とABとの交点をHとして、△OAH≡△OBH(△O'AH≡△O'BHでもよい)をいうことで証明できます。注意してほしいのは、2円の大きさが異なっても成り立つことです。もし2円の半径が等しければ、△OAH≡△O'AHをいうこと、あるいは四角形OAO'Bがひし形になることからでも証明できます。この時には、垂直二等分線の作図と同じ意味になります。
 現在まで知らなかったのは、不幸中の幸いですね。ベクトルを使って証明してみるのも、理解を深めると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
早速、中学生向け参考書を買ってきます。

お礼日時:2013/11/21 14:22

交点を結んだ直線を基準に考え、垂線とか垂直二等分線とかの「作図」をイメージすればよいかと。

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この回答へのお礼

回答有難うございます。
たしかにそうですね。

お礼日時:2013/11/21 14:23

中学校の幾何で学んでいるはずです。

それも最初のほうで・・
円上の二点と中心でできる三角形は二等辺三角形です。中心からの垂線は・・
「2つの円の交点を結んだ直線と中心を結んだ」の回答画像2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
でも・・・ごめんなさい。
自分の頭が悪いのでちょっと良くわからないです・・・。
図まで用意していただいたのに本当に申し訳ないです。

お礼日時:2013/11/21 14:26

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