この連立方程式の簡単な解き方を教えてください。答えは0にならないらしいですが x+2y+z=0 -2

この連立方程式の簡単な解き方を教えてください。答えは0にならないらしいですが

x+2y+z=0
-2x-y+z=0
2x+3y+z=0

よろしくお願いします。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/08 17:17

代入法などで1文字づつ消去していくのが確実な方法です。

x+2y+z=0・・・①
-2x-y+z=0・・・②
2x+3y+z=0・・・③
として、まずはZを消去の方針で
①－②として
3x+3y=0⇔x+y=0・・・④
①－③として
-x-y=0⇔x+y=0・・・⑤
これでｚが消去できました
次は④⑤を使って更に1文字消去　と言うのが通常ですが
この問題では④⑤が全く同形です
つまり、①②③からxとyの関係を表す式が1つしか得られないという事
変数がx,yの２つで式も(異なるものが)２つあるときは(x,y)が１つに決まる可能性がありますが
式1つではx,yは決まりません。
（ちなみに④⑤はｘｙ平面上で同一の直線の式を表します→(x,y)はこの直線上の任意の点
と言えます。）
そこで任意の実数ｔを用いて、x=tとすれば
④からy=-t
このとき①からz=t
したがって連立方程式１２３の解は
(x,y,z)=(t,-t,t)と言えます

（これは例えば、具体的にt=1とすれば、連立方程式の解は(1,-1,1)
t=2とすれば連立方程式の解は(2,-2,2)・・・というように無数に解があるという事を示します
なお、①②③はそれぞれ、座標空間上で平面を表す式です
この結果は、平面①、平面②、平面③の共有点が座標空間上で直線状になるという事を示しています。
この直線上の全ての点の座標が連立方程式①②③の解であることになります。
もし仮に平面①②③の共有点が唯一1点だけのとき、連立方程式は(x,y,z)は具体的な数値として１つだけ求まります
参考まで）

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2019/01/08 13:59

x+2y+z=0 ・・・①

-2x-y+z=0 ・・・②
2x+3y+z=0 ・・・③
②+③　2y+2z=0 →　y+z=0 ・・・④
① から x+y+y+z=0 ④ を代入して　
x+y=0 ・・・⑤ 。
④ より z=-y , ⑤ より x=-y →　x=z 。
x=k (k: 任意の数) とすると、
(x, y, z)=(k, -k, k) となります。
(1, -1, 1); (2, -2, 2); (-2/5, 2/5, -2/5) ・・・
0 を含めて、無数の答えがあります。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/08 13:20

解き方が、難しいようにみえるが、x,y,zの係数にしているだけだから、

例えば、1…2…1 は、1・x+2y+1・z=x+2y+z と置き換えてね！

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/08 10:53

行列によれば、行列Aを以下とすれば

1…2…1 →(1)
-2…-1…1 →(2)
2…3…1 →(3)
をサラスの方法で計算すれば、detA=3ー(-3)=0で、逆行列がなく普通の計算では無理！
そこで、
(1)・2+(2)は
0…3…3 →(4)
(1)・2ー(3)は
0…1…1 →(5)
故に、(4)は、(5)の5倍だから、
y+z=0 ……(6)

∴ z=ーy これを(1),(2),(3)に代入すれば、
x+y=0 →(1)'

ー2xー2y=0 →(2)'
2x+2y=0 →(3)'
となり、全て(1)' になる。
よって、(1)' と(6)を満たすx,y,zならいいはず！

例えば(x,y,z)=(1,ー1,1)で計算してください！3式とも満たしますからOKのはず！

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/01/08 04:12

その式、良ーく見てみよう。

3つとも「0」になる計算だ。

てことは、適当に2つ選んでイコールで繋いでしまってもいいよね。
例：
　x+2y+z = 2x+3y+z

さあて、この式おかしいぜ。
質問の前提ではどの項も「0」にはならないということなら、
　ｘ+ｙ+ｙ+ｚ＝ｘ+ｘ+ｙ+ｙ+ｙ+ｚ
これは成り立たない。
無茶言うな。

設問が間違っているか、問題を読み間違えているかのどちらかだ。