数学

数学の過去問

京都府立医科大の過去問で、


一つの球面上に3つ以上が一点で交わらないn個の大円をかくとき、
これらによってこの球面全体は何個の部分に分けられるか。
ただし、大円とは球面とその中心を通る平面との交点である。


という問題があるんですが、
どこから手を付けたらいいのかまったくわかりません。


解法、解答の流れ等教えていただけたら幸いです。

No.1 回答者： tksmsysh 回答日時： 2012/09/23 18:54

「1つ大円を追加することで，領域がいくつ増えるか？」について考えます．

領域の増分に注目することで，漸化式の発想が生まれます．

【解答】
n個の大円で球面を分割してできる領域の数をA_nとする．
3つ以上が1点で交わらないので，n個の大円があるときに(n+1)個目の大円を追加すると，今までのn個の大円と2点で交わる．
新たにできた交点により，(n+1)個目の大円は2n個の弧に分割される．
それぞれの弧が今まであった領域を2つに分割するので，領域は2n個増える．

したがって，
A_1 = 2
A_(n+1) = A_n + 2n
よって，n≧2のとき，
A_n = A_1 + Σ[k=2~n-1]2k
= 2 + n(n-1)
= n^2 - n + 2
これはn=1でも成り立つ．よって，
A_n = n^2 - n + 2 …（答）