【面積の問題】

ｋは定数で、k>0とする。
曲線C:kx^2(x≧０）と2つの直線ｌ：y=kx+1/k、ｍ：y=-kx+1/kとの交点のx座標を
それぞれα、β(0<β<α)とするとき

（１）α-βの値は？

（２）αβ、α^2+β^2およびα^3-β^3をｋを用いて表せ。

（３）曲線Cと2直線ｌ、ｍとで囲まれた部分の面積を最小にするｋの値を求めよ。
またそのときの面積を求めよ。


答え
（１）α-β=１
（２）αβ=1/k^2、α^2+β^2=1+2/k^2、α^3-β^3=1+3/k^2
（３）k=√6のとき最小値√6/3

ガイド
（３）S=k/6+1/k
（相加平均）≧（相乗平均）を利用


分かる方いらっしゃいましたら
解説お願いしたいです…！

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/09 23:44

＞ｋは定数で、k>0とする。

＞曲線C:kx^2(x≧０）と2つの直線ｌ：y=kx+1/k、ｍ：y=-kx+1/kとの交点のx座標を
＞それぞれα、β(0<β<α)とするとき
ｋα^2＝ｋα＋１／ｋ　…（１）
ｋβ^2＝－ｋβ＋１／ｋ　…（２）
＞（１）α-βの値は？
（１）－（２）より、
ｋ（α^2－β^2）＝ｋ（α＋β）
ｋ（α＋β）（α－β－１）＝０
ｋ＞０，α＋β＞０より、α－β－１＝０
よって、α－β＝１
＞（２）αβ、α^2+β^2およびα^3-β^3をｋを用いて表せ。
（１）＋（２）より、
ｋ（α^2＋β^2）＝ｋ（α－β）＋（２／ｋ）
ｋ（α^2＋β^2）＝ｋ・１＋（２／ｋ）
＝ｋ＋（２／ｋ）
よって、α^2＋β^2＝１＋（２／ｋ^2）
－２αβ＝（α－β）^2－（α^2＋β^2）
＝１－｛１＋（２／k^2）｝
＝－２／ｋ^2
よって、αβ＝１／ｋ^2
よって、
α^3－β^3＝（α－β）（α^2＋αβ＋＝β^2）
＝１×｛ｋ＋（２／ｋ^2）＋（１／ｋ^2）｝
＝１＋（３／ｋ^3）

＞（３）曲線Cと2直線ｌ、ｍとで囲まれた部分の面積を最小にするｋの値を求めよ。
＞またそのときの面積を求めよ。
面積Ｓとすると、
Ｓ＝∫［０～β］｛ｋｘ＋1/k－（-kx+1/k）｝ｄｘ＋∫［β～α］（ｋｘ+1/k－ｋｘ^2）ｄｘ
＝∫［０～β］２ｋｘｄｘ＋∫［β～α］（ｋｘ+1/k－ｋｘ^2）ｄｘ
＝［２ｋ・(1/2)ｘ^2］［０～β］＋［(k/2)ｘ^2＋(1/k)ｘ－(k/3)ｘ^3］［β～α］
＝ｋβ^2＋(k/2)（α^2－β^2）＋(1/k)（α－β）－(k/3)（α^3－β^3）
＝(k/2)（α^3＋β^2）＋(1/k)（α－β）－(k/3)（α^3－β^3）
＝(k/2)・｛１＋（２／ｋ^2）｝＋(1/k)・１－(k/3)・｛１＋（３／ｋ^2）｝
＝（k/6）＋（1/k）
相加平均・相乗平均より、
Ｓ＝（k/6）＋（1/k）≧２√｛（k/6）・（1/k）｝＝２／√６＝√６／３
等号成立は、ｋ／６＝１／ｋのとき、ｋ^2＝６，ｋ＞０より、ｋ＝√６
よって、ｋ＝√６のとき、面積Ｓの最小値√６／３

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/07/09 21:30

曲線C（放物線）と、直線l, mのグラフを描いてみましたよね？

曲線と直線の交点のx座標の求め方って、教科書か参考書に書いてありませんか？