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数Bの漸化式の問題についての質問です。

平面上にn個の円があって、それらのどの2つも異なる2点で交わり、またどの3つも1点で交わらないとする。これらn個の円が平面をan個の部分に分けるとき、anをnの式で表せ。

n個の円が平面をan個の部分に分けるというところでこのan
は円の領域と円を取り除いた平面の領域の数ということです
か?
問題文があまりピンとこないので回答よろしくお願い致します!
できればでいいですが、図もあると助かります。

A 回答 (5件)

#3さんの図では矢印の区画が抜けてます。

「数Bの漸化式の問題についての質問です。 」の回答画像5
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n 個の円が平面を a(n) 個の領域に分けるとする。


n+2 個めの円周は、既に書いた n 個の円によって
2n 個の円弧に区切られるが、その各円弧が
a(n) 個の領域のうち 2n 個を各 2 個づつに分割する。
つまり、 a(n+1) = a(n) + 2n.
初期条件 a(1) = 2 と合わせると、漸化式の解は
a(n) = a(1) + Σ[k=1..n-1] 2k
  = 2 + 2・(n-1)n/2
  = n^2 - n + 2.
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そういう事です。


「どの2つも異なる2点」の「どの2つも」が重要で、図の様になってるという意味。

どの2円をとっても必ず2点で交わってる図です。
「数Bの漸化式の問題についての質問です。 」の回答画像3
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an=(2n-1)+(n-2)(n-1)+1=n²-n+2

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画像のように円の外側も数えます

「数Bの漸化式の問題についての質問です。 」の回答画像1
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