数学 x^(x^77)=77 この計算では両辺を77乗して {x^(x^77)}^77=(77)^7

数学

x^(x^77)=77
この計算では両辺を77乗して
{x^(x^77)}^77=(77)^77
x^(x^77×77)=77^77
x^(77×x^77)=77^77
(x^77)^x^77=(77)^77…1
ここからx^77=77…2
となるんですがどうして1から2の変形ができるんですか？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/07 18:20

x⁷⁷=77 のとき (x⁷⁷)^(x⁷⁷)=77⁷⁷ が成り立つのは事実。

これを解 x⁷⁷=77 の十分性と言う。
ちゃんと検証すれば、必要性も確認できる。
問題は、必要性の確認を書かなければ
方程式の「全ての」解を求めたことにならないことだ。
で、話は No.1 の末行へ返る。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/07 17:10

(xⁿ)^(xⁿ)=n^n

から
xⁿ=n
は
n=1/2
のとき
成り立ちません

{x^(1/2)}^{x^(1/2)}=(1/2)^(1/2)
のとき

(1/4)^(1/4)=(1/2)^(1/2)
だから

解は
x^(1/2)=1/2
だけではなく
x^(1/2)=1/4
も解になります

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/07 11:46

x⁷⁷=77 が解であることはよいとして、

必要性の検証は？

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/06 20:28

(x⁷⁷)^(x⁷⁷)=77⁷⁷

ベキ数77をnと書いてみると、(xⁿ)^(xⁿ)=nⁿ。
左辺と右辺と眺めてみると、xⁿ=nでしょ？
右辺も同じ表記にすると(xⁿ)^(xⁿ)=n^nですから。

これよりnを77に戻すとx⁷⁷=77

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/06 20:02

x^(x^77)=77

{x^(x^77)}^77=(77)^77
x^{(x^77)×77}=77^77
x^(77×x^77)=77^77
(x^77)^(x^77)=77^77…1

X=x^77
とすると

X^X=77^77

f(X)=X^X
とする

f(X)=e^(XlogX)

f'(X)=(1+logX)e^(XlogX)

lim{X→0}X^X
=lim{X→0}e^(XlogX)
=lim{t→∞}e^(-t/e^t)
=1

0<X<1/e のときf'(X)<0だからXが増加時f(X)は減少
f(1/e)=1/e^(1/e)
1/e<X のときf'(X)>0だからXが増加時f(X)は増加
だから
0<X<1/e のとき
1>f(X)=X^X>1/e^(1/e)

X^X=77^77>1 だから

1/e<X

X<77 と仮定すると
1/e<X<77,Xが増加時f(X)=X^Xは増加だから
X^X<77^77 となって矛盾する

77<X と仮定すると
1/e<77<X, Xが増加時f(X)=X^Xは増加だから
77^77<X^X となって矛盾するから

X=77
↓X=x^77だから

x^77=77

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/06 15:08

(x^77)^x^77

では
[(x^77)^x]^77
なのか
(x^77)^(x^77)
なのかがわからないから, ちゃんと区別できるように書こう.

さておき本題についていえば y=x^x という関数の増減を考えるのがよいだろう.

この回答へのお礼

ごめんなさい抜けてましたね
(x^77)^(x^77)です！

お礼日時：2024/07/06 16:14