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指数方程式についてです。

2^x+2^-x=2 の答えはx=0ですが、どのように求めますか?

x=0を代入してみると確かに2になるのでそれでもよいのですが、他の方法があれば教えて頂きたいです。

例えば、

2^x+2^-x=2^1だから、x-x=1のように出来ますか?(左辺については、あまり自信がありません。間違っていたら教えてください。)
もしこれで出来るのであれば、x-xで文字xが消えてしまいます。この場合、0=1となりますが、これは正しいですか?

教えてください。

A 回答 (5件)

2^x+2^-x=2^1だから、x-x=1のように出来ますか?


>>>できません
2^3+2^4=2^7ですか? こうならないですよね 
これと全く同じことです

指数法則により、2^3・2^4=2^(3+4)=2^7 なら正しいです

なお、これは以下のように解きます(あてずっぽうでは、xがみつからないこともあります!)

2^x=tとおくと (2^x>0だから)t>0  ←←← このt>0と言う条件を把握しておくことは大変重要です
マイナス乗は逆数を意味しますから
2^-x=1/2^x=1/t
ゆえに 予方程式は t+1/t=2に置き換えられる
両辺t倍して整理
t²-2t+1=0
(t-1)²=0
t=1(重解) 
これはt>0を満たしているので問題なし(方程式のよっては 満たさないtが求まることもあるので要注意!!)
∴2^x=1=2^0
乗数部分が比較で来て x=0
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No3の後半間違えてますね


すいません、無視してください
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■解法1


y=2^xとおけば(y>0)与式は

y+y^(-1)=y+1/y=2

0でないyを両辺にかけて
y^2+1=2y
y^2-2y+1=0
(y-1)^2=0

y=1で重解、つまり2^x=1
両辺の対数をとれば
xlog2=log1=0
x=0

■解法2
質問者のように2の指数で表現する場合は以下のように変形します
2^x+2^-x=2^x{1+2^(-x-x)}=2^x{1+2^(-2x)}=2^1
※掛け算は指数部の足し算
2^xは単調関数なので
1+2^(-2x)=1
2^(-2x)=0
よってx=0

指数部だけ抜き出して計算してはいけません
簡単な例だと

2^1+2^2+2^3
=2+4+8=14

2^(1+2+3)
=2^6=64

で指数だけ足すと答えが合わないですからね
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2^x+2^-x=2 の両辺へ2^xを掛けて


2^2x+2^0=2*2^x
(2^x)²-2*2^x+1=0
(2^x-1)²=0
2^x=1
xlog2=0
x=0
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>2^x+2^-x=2^1だから、x-x=1のように出来ますか?(左辺については、あまり自信がありません。

間違っていたら教えてください。)
>もしこれで出来るのであれば、x-xで文字xが消えてしまいます。この場合、0=1となりますが、これは正しいですか?

指数の性質をもう一度復習したほうがいいよ。

2^(-x)=1/2^x

p=2^xとすると、

p + 1/p=2

両辺にpを掛けると、
p^2 + 1=2p
p^2 - 2p + 1=0
(p-1)^2=0
p=1

2^x=1
x=0
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