
指数方程式についてです。
2^x+2^-x=2 の答えはx=0ですが、どのように求めますか?
x=0を代入してみると確かに2になるのでそれでもよいのですが、他の方法があれば教えて頂きたいです。
例えば、
2^x+2^-x=2^1だから、x-x=1のように出来ますか?(左辺については、あまり自信がありません。間違っていたら教えてください。)
もしこれで出来るのであれば、x-xで文字xが消えてしまいます。この場合、0=1となりますが、これは正しいですか?
教えてください。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
2^x+2^-x=2^1だから、x-x=1のように出来ますか?
>>>できません
2^3+2^4=2^7ですか? こうならないですよね
これと全く同じことです
指数法則により、2^3・2^4=2^(3+4)=2^7 なら正しいです
なお、これは以下のように解きます(あてずっぽうでは、xがみつからないこともあります!)
2^x=tとおくと (2^x>0だから)t>0 ←←← このt>0と言う条件を把握しておくことは大変重要です
マイナス乗は逆数を意味しますから
2^-x=1/2^x=1/t
ゆえに 予方程式は t+1/t=2に置き換えられる
両辺t倍して整理
t²-2t+1=0
(t-1)²=0
t=1(重解)
これはt>0を満たしているので問題なし(方程式のよっては 満たさないtが求まることもあるので要注意!!)
∴2^x=1=2^0
乗数部分が比較で来て x=0
No.3
- 回答日時:
■解法1
y=2^xとおけば(y>0)与式は
y+y^(-1)=y+1/y=2
0でないyを両辺にかけて
y^2+1=2y
y^2-2y+1=0
(y-1)^2=0
y=1で重解、つまり2^x=1
両辺の対数をとれば
xlog2=log1=0
x=0
■解法2
質問者のように2の指数で表現する場合は以下のように変形します
2^x+2^-x=2^x{1+2^(-x-x)}=2^x{1+2^(-2x)}=2^1
※掛け算は指数部の足し算
2^xは単調関数なので
1+2^(-2x)=1
2^(-2x)=0
よってx=0
指数部だけ抜き出して計算してはいけません
簡単な例だと
2^1+2^2+2^3
=2+4+8=14
2^(1+2+3)
=2^6=64
で指数だけ足すと答えが合わないですからね
No.2
- 回答日時:
2^x+2^-x=2 の両辺へ2^xを掛けて
2^2x+2^0=2*2^x
(2^x)²-2*2^x+1=0
(2^x-1)²=0
2^x=1
xlog2=0
x=0
No.1
- 回答日時:
>2^x+2^-x=2^1だから、x-x=1のように出来ますか?(左辺については、あまり自信がありません。
間違っていたら教えてください。)>もしこれで出来るのであれば、x-xで文字xが消えてしまいます。この場合、0=1となりますが、これは正しいですか?
指数の性質をもう一度復習したほうがいいよ。
2^(-x)=1/2^x
p=2^xとすると、
p + 1/p=2
両辺にpを掛けると、
p^2 + 1=2p
p^2 - 2p + 1=0
(p-1)^2=0
p=1
2^x=1
x=0
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