a_1=1,a_(n+1)=√(a_n+2) , (n≧1)
問い
(1)y=√(x+2), (x≧-2),y=x をグラフに描く
(2)2つのグラフの交点のx座標をαとおく、αの値を求めよ
(3),(1)を用いて、数列a_nをx軸上に記せ
(4)数列a_nは単調増加であることをnに関する帰納法で求め
(5)不等式a_n≦α (n≧1)をnに関する帰納法で求めよ
(6)数列a_nの極限を求めよ
とあり、1~3までは一応解けたのですが
それ以降があまり自信がありません
1については、そのまま、平行移動の問題
2については、連立してα=2
3はイマイチわからないのですが、2に収束
4については、a_nが常にa_n≦a_(n+1)になっていくように数学的帰納法で示すのですが
(i) n=1,2,3のときは成立している
(ii) n=kのとき、a_(k+1)=√(a_k+2),が成り立つと仮定すると
(iii) n=k+1のとき、a_(k+2)=√{√(a_k+2)+2}
となり、収拾がつかなくなりました。一度iiiで差を取ってみるも、a_(k+1)-a_kとなりだめでした
5については
(i) n=1,2のときは成立している だが、n=3のとき√(3)+1と2を超えてしまう
(ii) n=kのとき、a_n≦α(,が成り立つと仮定すると
(iii) n=k+1のとき、a_(k+1)≦α(=2)、とどう式へんけしていけばいいのかわからず
6については、漸化式を求める際、根号が出てきて公費が分からずa_nが求まりません
特性方程式を解くと2の値が出てくるので、a_(n+1)-2=√{(a_n)-2}
数列a_n-2は初項-1、公比?
以降が分からずじまい、
数学のできる方教えてください
No.3
- 回答日時:
(4)(5)の帰納法は
(4) a(n)<a(n+1) を仮定。両辺に2をたして a(n)+2<a(n+1)+2 平方根をとって
√(a(n)+2)<√(a(n+1)+2) つまり a(n+1)<a(n+2)
(5) a(n)<2 と仮定。両辺に2を足してa(n)+2<4 平方根をとって
√(a(n)+1)<2 つまり a(n+1)<2
(6)2-a(n)=2-√(a(n-1)+2) ={4-(a(n-1)-2)}/{2+√(a(n-1)+2)}<{2-a(n-1)}/2
これより 2-a(n)<(1/2)^(n-1) ・(2-a(1))=(1/2)^(n-1)
0<2-a(n)<(1/2)^(n-1)
0<lim(2-a(n))<lim{(1/2)^(n-1)} : limはn→∞
はさみうちの定理よりlim{2-a(n)}=0
∴lim a(n)=2
No.1
- 回答日時:
(4) は数学的帰納法がおかしい. (ii) のところ, それは「仮定」するものなの? 何を示したいのか, そのために数学的帰納法を使うなら「何を仮定して何を示さなければならないのか」をきちんと書いてみてください.
(5) と (6) は (4) ができればだいたい何とかなる.
あ, (3) の「イマイチわからない」ってのは, 何がどう「イマイチわからない」んでしょうか?
この回答への補足
(4)は数列a_nは単調増加であることをnに関する帰納法
であるから、a_n≦a_(n+1)が成り立つことが証明できれば、単調増加という事がわかる、そのための数学的帰納法。
3は漸化式を解いていくと、a_1=1、a_2=√3,a_3=√(3)+1となり、収束するはずの2を超えてしまうためです。
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