難題集から 最大と最小

(1) x≧0, y≧0 のとき,常に不等式
√(x+y)+√y≧√(x+ay)が成り立つような正の定数a の最大値を求めよ
(2) a を(1)で求めた値とする . x≧0, y≧0 ,z≧0のとき常に不等式
√(x+y+z)+√(y+z)+√z≧√(x+ay+bz)が成り立つような正の定数bの最大値を求めよ

※　　解法は、高校範囲でお願い致します

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます
  
  私は、以下の様になりました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/22 23:21

• 

  画像が小さいので、こちらをご覧ください
  
  https://imgur.com/a/VZIORos

    補足日時：2023/02/22 23:25

• 

  ↑a,↑b　が　一次従属かと考えてしまい時間がかかりました
  一次独立なんですね
  
  出展は、チャート　数学難問集の　横浜国立大学です

    補足日時：2023/02/22 23:36

• 

  解答の書き方は、まだ中学３年ですし
  
  これからの課題と思っております。
  
  その様なことに気を配っていると、今の私は、答案に勢いがなくなり
  
  考えることに集中できません
  
  
  さて、Tacosanさんは、この問題をどの様に考えたのですか？
  
  そちらが本題です
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/22 23:43

• 

  ご意見の
  >√(s+1)-√s≧1と結論しているが、、、
  意味不明ですが
  
  そんな結論は出していません、再度答案を見直してください。
  
  ここまでクダケテ答案を作成しませんが、
  
  念の為
  
  https://imgur.com/a/u8oJyer

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/23 07:49

• 

  貴殿が理解できていない事がわかりました
  √(s+1)-(√s+1)≧0
  これを成立させるsは、s=0 他　存在しません
  
  後も、同様の議論です

    補足日時：2023/02/23 08:08

• 

  貴殿は
  
  >s=1のとき
  　√(s+1)-√s≒1.414-1=0.414<1
  そもそも間違ってもいる。
  
  などと、、、、s=1など元々議論できません

    補足日時：2023/02/23 08:19

• 

  >両辺 2乗して整理すればそれで終わり＝
  思いつかなかったわけではありませんよ
  趣味が合わないと思ったから
  数学は美の探究が信念ですので
  
  では
  　
  from minamino

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/23 22:53

• >cos θ が 1/√2
  (2)は、cos θ が 1/√3
  
  どちらも、どちらも、４乗の逆数が求めるものになります
  この、美しさを只今探究しております
  
  自ずと、貴方の疑問に沿える事でしょう

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/23 23:10

No.7 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/24 00:13

そんなことは聞いていない. cos θが 1/√2 でないときのことはどこに書いてあるのか, ただそれを聞いているのだ.

日本語は通じている?

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/23 22:59

で, cos θ が 1/√2 でないときはどうなの? そのときのことがどこにも書かれてないよ.

この回答へのお礼

補足が残り１回なので、ここで失礼します

あなたの疑問は、私の探求先に自ずと見つかるでしょう

ご自身もお考えになられてみては如何ですか

貴方の数学力に期待しています

残り１回の補足は、貴方の疑問も含めUpします

楽しみに待っていてください

では、

from minamino

お礼日時：2023/02/24 01:17

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/23 20:29

(1) について.

「cos θ = 1/√2 のとき √(x+ay) = √x + √(ay)」まではいいとして, そのあと
・「このとき (与式)」はなにをいいたいのかさっぱりわからない
・cos θ ≠ 1/√2 のときを考えなくてよいとする根拠が書かれていない

つまりそこからあとが全く論理的につながらない.

なお, 少なくとも (1) ではそんな意味不明なことをしなくても, 両辺 2乗して整理すればそれで終わり.

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/23 08:30

失礼しました。

勘違いしたようです。

まず、
　√(s+t+1)+√(t+1)-√s-2√t+1≧√b
→ √(s+t+1)+√(t+1)-(√s+√t)-(√t+1)≧√b
としているが
→ √(s+t+1)+√(t+1)-(√s+√t)-(√t-1)≧√b・・・・①
の間違い。

だから
　√(t+1)-(√t+1)≧0 → √(t+1)-(√t-1)≧0
の間違い。そして、これは当然ながら
　√(t+1)-(√t-1)≧2・・・・②
である。

そして
　√(s+t+1)-(√s+√t)≧1・・・・③
だから、②③の左辺の最小値は　s=t=0 で、①の最小値も
同じで3となる。つまり
　3≧√b
をえる。

というような議論が欠落している。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/23 06:50

訂正

指摘のように、議論の u,v≧0 でした。さらに
(2)
　√(u+v+1)+√(v+1)+1≧√(u+4v+b)
→ (u+v+1)+(v+1)+1+2√{(u+v+1)(v+1)}+2√(u+v+1)
　　　　+2√(v+1) ≧ u+4v+b
→ 3-2v+2√{(u+v+1)(v+1)}+2√(u+v+1)+2√(v+1)≧b ←●
→ 3+2[-v+√{(u+v+1)(v+1)}]+2√(u+v+1)+2√(v+1)≧b
　　　　・・・・・①
(以下、全面変更)
ここで、
　-v+√{(u+v+1)(v+1)}≧1・・・・・②
である。というのは
　√{(u+v+1)(v+1)}≧v+1 → (u+v+1)(v+1)≧(v+1)²
→ u(v+1)≧0
となるから、u=0(vは任意)のとき、最小。
したがって、②の左辺の最小は u=0 のときで、1となる

また、①の左辺の3、第4項は u=v=0 の時最小。

したがって、これらを合わせると、①の左辺の最小は u=v=0
のときで、
　3+2・3=9
となるから
b=9

(訂正終わり)


あなたの回答について。ベクトルは何を言っているかさっぱり。

(1)
両辺に 1/√y(>0) をかける、とあるが y≠0 を示していない。
「sの最小値 f(0)」は日本語になってない。「f(s)の最小値はf(0)」
とかと思う。

さらに、そのように断言する根拠が示されてないし、たとえば
　√(s+1)-√s≧1
と結論しているが、s=1のとき
　√(s+1)-√s≒1.414-1=0.414<1
そもそも間違ってもいる。

(2)
同様であるが、
　√(x+4y+bz)=√x+√(4y)+√(bz)
何のことかさっぱり。
f(s,t)の最小値が f(0,0)の根拠も示されていない(-√s がなければ
自明だが)。


ということで、あなたの議論の根拠は皆無で、たまたま結論が合
ってるだけ。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/22 23:35

前に「問題にない記号は定義してから使え」ってどこかで書いた気がするなぁ.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/22 21:23

(1)

y=0のとき、与式は √x+0≧√x なので成立(aの如何によらず)。

そこで、y≠0とし、u=x/y (>0)とすると、与式は
　√(u+1)+1≧√(u+a) → u+1+2√(u+1)+1≧u+a
→ 2+2√{u(u+1)}≧a
u>0 なので、左辺の下限はu=0 のときの、4となる。つまり、
aの最大値は 4

(2)
　√(x+y+z)+√(y+z)+√z≧√(x+4y+bz)
z=0 とすると与式は
　√(x+y)+√y≧√(x+4y) → x+y+y+2√{(x+y)y}≧x+4y
→ √{(x+y)y}≧y → (x+y)y≧y² → xy≧0
で常に成立(bの如何によらず)。

そこで、z≠0とし、u=x/z, v=y/z (u,v>0)とすると、与式は
　√(u+v+1)+√(v+1)+1≧√(u+4v+b)
→ u+v+1+v+1+2√{(u+v+1)(v+1)}+2√(u+v+1)
　　　　+2√(v+1) ≧ u+4v+b
→ 1-2v+2√{(u+v+1)(v+1)}+2√(u+v+1)+2√(v+1)≧b
→ 1+2[-v+√{(u+v+1)(v+1)}]+2√(u+v+1)+2√(v+1)≧b
　　　　・・・・・①
ここで
　-v+√{(u+v+1)(v+1)}>1・・・・・②
である。というのは
　√{(u+v+1)(v+1)}>v+1 → (u+v+1)(v+1)>(v+1)²
→ u(v+1)>0
となるから。

したがって、②の左辺の下限は u=v=0 のときで、1となる
から①式の左辺第2項の下限は u=v=0 のときで 2 となる。
さらに、このときは、①の第3、4項も下限もそれぞれ、
u=v=0 で 2となる。

したがって、①の左辺の下限は 1+2・3=7 となるから
b=7