
☆xについての3つの不等式
(1)2x+1/3>=9x-2/12-x+5/4
(2)2x+6>√7x
(3)ax-a<a^2
がある。ただし、aは0でない定数である。
(1)不等式(1)、(2)をともに満たす整数xは全部で何個あるか。
(2)不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数xがちょうど11個存在するようなaの値の範囲を求めよ。
★実数xはx+1/x=√5を満たしている。ただし、x>1とする。
(1)(x-1/x)^2、x-1/xの値をそれぞれ求めよ。
(2)x^3-1/x^3の値を求めよ。
(3)x^5-2x^4-2/x^4-1/x^5の値を求めよ。
これらの問題が分かりません。
出来るだけ詳しい説明も含め、答えをお願いします。
☆の問題と★の(3)がよく分からないので、これらを先に出していただけると嬉しいです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)(2x+1)/3≧(9x-2)/12-(x+5)/4
(2)2x+6>√7x
(3)ax-a<a^2
(1)不等式(1)、(2)をともに満たす整数xは全部で何個あるか。
不等式(1)を通分して整理すれば、
x≧-21/2
不等式(2)も整理してから分母を有理化すれば、
x<2(√7+2)
-10.5≦x<2(√7+2)≒9.29
を満たす整数xは、-10から9までの20個
(2)不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数xがちょうど11個存在するようなaの値の範囲を求めよ。
不等式(3)は、
ax<a^2+a
a>0のときは、x<a+1
a<0のときは、x>a+1
x<a+1の場合は、
条件を満たす整数xが11個になるのは、
x=-10,-9,-8,・・・,-1,0 となるときなので、
0<a+1≦1
これはa>0と矛盾するので、不適
x>a+1の場合は、
条件を満たす整数xが11個になるのは、
x=-1,0,1,・・・,8,9 となるときなので、
-2≦a+1<-1
以上より、
-3≦a<-2
★実数xはx+1/x=√5を満たしている。ただし、x>1とする。
(3)x^5-2x^4-2/x^4-1/x^5の値を求めよ。
x^5-2x^4-2/x^4-1/x^5=(x^5-1/x^5)-2(x^4+1/x^4)
x^5-1/x^5=(x-1/x)(x^4+x^2+1+1/x^2+1/x^4)
=(x-1/x){(x^4+1/x^4)+(x^2+1/x^2)+1}
x^4+1/x^4=(x+1/x)^4-(4x^2+6+4/x^2)
=(x+1/x)^4-4(x^2+1/x^2)-6
x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2
これらを組み合わせれば計算できます。
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