☆xについての3つの不等式

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質問者：xzaxl
質問日時：2010/07/01 20:51
回答数：2件

☆xについての3つの不等式
(1)2x+1/3>=9x-2/12-x+5/4
(2)2x+6>√7x
(3)ax-a<a^2
がある。ただし、aは0でない定数である。
(1)不等式(1)、(2)をともに満たす整数xは全部で何個あるか。
(2)不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数xがちょうど11個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

★実数xはx+1/x=√5を満たしている。ただし、x>1とする。
(1)(x-1/x)^2、x-1/xの値をそれぞれ求めよ。
(2)x^3-1/x^3の値を求めよ。
(3)x^5-2x^4-2/x^4-1/x^5の値を求めよ。

これらの問題が分かりません。
出来るだけ詳しい説明も含め、答えをお願いします。
☆の問題と★の(3)がよく分からないので、これらを先に出していただけると嬉しいです。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： nag0720
回答日時：2010/07/02 07:11

(1)(2x+1)/3≧(9x-2)/12-(x+5)/4

(2)2x+6＞√7x
(3)ax-a＜a^2

(1)不等式(1)、(2)をともに満たす整数xは全部で何個あるか。

不等式(1)を通分して整理すれば、
x≧-21/2
不等式(2)も整理してから分母を有理化すれば、
x<2(√7+2)

-10.5≦x＜2(√7+2)≒9.29
を満たす整数xは、-10から9までの20個

(2)不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数xがちょうど11個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

不等式(3)は、
ax＜a^2+a
a＞0のときは、x＜a+1
a＜0のときは、x＞a+1

x＜a+1の場合は、
条件を満たす整数xが11個になるのは、
x=-10,-9,-8,・・・,-1,0　となるときなので、
0＜a+1≦1
これはa＞0と矛盾するので、不適

x＞a+1の場合は、
条件を満たす整数xが11個になるのは、
x=-1,0,1,・・・,8,9　となるときなので、
-2≦a+1＜-1

以上より、
-3≦a＜-2

★実数xはx+1/x=√5を満たしている。ただし、x>1とする。
(3)x^5-2x^4-2/x^4-1/x^5の値を求めよ。

x^5-2x^4-2/x^4-1/x^5=(x^5-1/x^5)-2(x^4+1/x^4)

x^5-1/x^5=(x-1/x)(x^4+x^2+1+1/x^2+1/x^4)
　　=(x-1/x){(x^4+1/x^4)+(x^2+1/x^2)+1}
x^4+1/x^4=(x+1/x)^4-(4x^2+6+4/x^2)
　　=(x+1/x)^4-4(x^2+1/x^2)-6
x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2

これらを組み合わせれば計算できます。