絶対値 場合分け 添付の問題ですが、qの式についてxを0以上、0未満で場合分けしています。 普段、絶

絶対値　場合分け
添付の問題ですが、qの式についてxを0以上、0未満で場合分けしています。
普段、絶対値記号を外すときに、絶対値記号内の正負で場合をしているため、解説の解き方を説明されてもよく分かりません。
このqの場合、右辺が正か負かの場合分けをしているという認識で良いのでしょうか？
また、0以上の場合、x-2<-2x、2x<x-2の２つが出てくるというのがわかりません。どのように絶対値記号を外しているのでしょうか？
どなたか解説をお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/14 14:28

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞qにおいて、0以上の場合、絶対値記号を外すとx-2<-2x、2x<x-2の２つの式が出てくるというところの説明もしていただけないでしょうか？

q で x ≧ 0 の場合には、

(a) 絶対値の中が x - 2 ≧ 0 つまり x ≧ 2 のとき　←①
　x - 2 > 2x
→　x < -2
これは①を満たさないので不適。

(b) 絶対値の中が x - 2 < 0 つまり 0 ≦ x < 2 のとき　←②
　-(x - 2) > 2x
→　2/3 < x
これと②を両方満たす範囲は
　0 ≦ x < 2/3

これと、x<0 はすべて与不等式を満足することから、q の解は
　x < 2/3

この回答へのお礼

ありがとうございました
本当に助かりました

お礼日時：2022/12/14 14:30

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/14 14:06

＞このqの場合、右辺が正か負かの場合分けをしているという認識で良いのでしょうか？

はい、そうでしょう。
x < 0 だったら、それを満たす x すべてで不等式が成り立ちますから。

r は逆に、x > 0 だったら、それを満たす x すべてで不等式が成り立ちます。

この回答へのお礼

ありがとうございます
qにおいて、0以上の場合、絶対値記号を外すとx-2<-2x、2x<x-2の２つの式が出てくるというところの説明もしていただけないでしょうか？
よろしくお願いします

お礼日時：2022/12/14 14:17

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/14 13:56

x ≧ 0 のときは、 q の両辺が非負だから、二乗したらいいじゃない？

条件 x ≧ 0 の下で
|x-2| > 2x　⇔　(x-2)^2 > (2x)^2
　　　　　⇔　(x-2)^2 - (2x)^2 > 0
　　　　　⇔　{ (x-2) + 2x }{ (x-2) - 2x } > 0
　　　　　⇔　{ (x-2) + 2x > 0 かつ (x-2) - 2x > 0 } または
　　　　　　　{ (x-2) + 2x < 0 かつ (x-2) - 2x < 0 }.
　　　　　⇔　{ x-2 > -2x かつ x-2 > 2x } または
　　　　　　　{ x-2 < -2x かつ x-2 < 2x }.
　　　　　⇔　{ x-2 > 2x } または
　　　　　　　{ x-2 < -2x }.
最後の ⇔ は、 x ≧ 0 のとき -2x ≦ 2x であることからくる。