数Ⅲで極限を求める問題です。 これの(3)番が分かりません。 教えてください

数Ⅲで極限を求める問題です。
これの(3)番が分かりません。
教えてください

質問者からの補足コメント

• 不等式についても教えて欲しいです不等式についても教えて欲しいです

    補足日時：2017/11/04 17:05

No.4 ベストアンサー 回答者： yasaigashushoku 回答日時： 2017/11/04 17:52

1/√(n^2+n) + 1/√(n^2+n) +……+1/√(n^2+n) <1/√(n^2+1)+1√(n^2+2)+…1/√(n^2+n)<1/√(n^2+1)+ 1/√(n^2+1)+…+1/√(n^2+1)

と評価します。
1/√(n^2+n) + 1/√(n^2+n) +……+1/√(n^2+n)= (1/√(n^2+n))×n=1/√(1+1/n)→1(n→∞),
1/√(n^2+1)+ 1/√(n^2+1)+…+1/√(n^2+1)= (1/√(n^2+1))×n=1/√(1+1/n^2)→1(n→∞)
はさみうちの原理より、与式=1
紙に上記の不等式を書くとわかりやすいかと…

No.3 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/04 17:36

1/√(n^2＋1)＞1/√(n^2＋2)＞1/√(n^2＋3)＞・・・＞1/√(n^2＋n)ですよね。

だから、1/√(n^2＋1)＋1/√(n^2＋1)＋1/√(n^2＋1)＋・・・＞1/√(n^2＋1)＋1/√(n^2＋2)＋1/√(n^2＋3)＋・・・となるわけです。

なので、n/√(n^2＋1)＞1/√(n^2＋1)＋1/√(n^2＋2)＋1/√(n^2＋3)＋・・・＋1/√(n^2＋n)となるわけです。

また、1/√(n^2＋n)＋1/√(n^2＋n)＋1/√(n^2＋n)＋・・・＋1/√(n^2＋n)＜1/√(n^2＋1)＋1/√(n^2＋2)＋1/√(n^2＋3)＋・・・＋1/√(n^2＋n)ともなるわけです。

なので、n/√(n^2＋n)＜1/√(n^2＋1)＋1/√(n^2＋2)＋1/√(n^2＋3)＋・・・＋1/√(n^2＋n)となるわけです。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/11/04 16:36

ヒントです。

limの中身（←カッコの中の足し算）は、n個のものを足してますね。

ということは、
　・1番小さいもののn倍よりは大きく
　・1番大きいもののn倍よりは小さい
ということですね。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/04 13:21

ヒントだけ言います。

はさみうちで解きます。

・lim[n→∞](n/√(n^2＋1))=1
・lim[n→∞](n/√(n^2＋n))=1

よって、はさみうちの原理より(3)の答えは1です。

はさみうちの式は与えましたので、あとは不等式に関しては自分でまずは考えてください。