指数対数

解決済

質問者：noname#141166
質問日時：2011/09/23 22:16
回答数：2件

2008年甲南大数学です。

a＞0，a≠1とする。
xの不等式
a^x+a^(1-x)＜1+aを解け。

解き方と解答を
お願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2011/09/24 05:11

a^x=t(>0)とおいてxの不等式をtの不等式に変換して考えます。

　t+a/t＜1+a
t(>0)を両辺に掛けて
　t^2+a＜(1+a)t
右辺を左辺に移項して
　t^2-(1+a)t+a＜0
　(t-1)(t-a)＜0
a>1のとき
　1<t<a　→ 1<a^x<a
自然対数をとると
　 0<xlog(a)<log(a)
　log(a)(>0)で割って
　∴0<x<1
0<a<1のとき
　a<t<1 →a<a^x<1
　自然対数をとると
　log(a)<xlog(a)<0
　log(a)(<0)で割って
　1>x>0 ∴0<x<1

いずれの場合も同じ「0<x<1」となるのでまとめると
与えられたa（a>0,a≠1）に対しての答えは「0<x<1」となるかと思います。