85番: 不等式a(x^2)+(y^2)+a(z^2)-xy-yz-zx≧0が任意の実数x, y,

85番:
不等式a(x^2)+(y^2)+a(z^2)-xy-yz-zx≧0が任意の実数x, y, zに対して成り立つような定数aの値の範囲を求めよ

この問題の解き方を教えて下さい。

詳しく書いてくださると、とても助かります。

質問者からの補足コメント

• 解説を見ても鉛筆で丸印つけたようになるのが理解出来なくて困ってました。どうぞ易しく教えて下さい。

  
    補足日時：2019/06/18 15:32

• D2=32(x^2)(1-a)(1+2a)
  の32が②の式で消えるのはなぜかを知りたいです。

    補足日時：2019/06/18 23:35

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/19 11:10

#1,2及び、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11171209.htmlで回答させてもらいましたが、
なんと、「D2=32(x^2)(1-a)(1+2a)
の32が②の式で消えるのはなぜかを知りたいです。」をききたかったのですか！！！

D2=32(x^2)(1-a)(1+2a)≦0だから
32(x^2)(1-a)(1+2a)≦0の両辺を32で割って、(x^2)(1-a)(1+2a)≦0が得られます。
これから、a≦-1/2,1≦a　といように求まるわけです

なお、あえてそのようなことはせず、32(x^2)(1-a)(1+2a)≦0・・・（あ）のままでも構いません。
x²の係数が0以下であればよいのですから、式（あ）から(1-a)(1+2a)≦0が条件だと言っても良いのです。

あと、私も含めて回答者の皆さんはあなたの質問の意図を理解できませんでした。
相手に伝える力が不足していませんか？
相手に伝える力を養うと、記述式試験で減点されにくくなることは勿論、自分の頭の中も整理されるので、理解が進みます
結果、難問がわかるようになることも増えると思います。
伝える力、記述力の養成、頑張ってね^-^

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/19 00:05

＞32が②の式で消えるのはなぜかを知りたいです。

そこ？
D_2 = 32(x^2)(1-a)(1+2a) の両辺を 4 で割った
(D_2)/4 = 8(x^2)(1-a)(1+2a) の 8 が、その上の式にはあるでしょう？

8(1-a)(1+2a)(x^2) ≦ 0 と
(1-a)(1+2a)(x^2) ≦ 0 は、同値な不等式です。

No.6 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/19 00:02

32は正の数なので、D₂≦０に影響しないので取りましたが、②の式で32をつけたまま考えても問題ないです。

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/18 22:24

鉛筆で丸印をつけたようになるのが理解できないということですが、D₂/4をやめてD₂にしたら理解できますか？　

また　D₂＝(6x)²-４(1-4a)(1-4a)ｘ²
=36ｘ²-4ｘ²(1-4a
=4x²{9-(1-4a)²｝
=4x²{3+(1-4a)}{3-(1-4a)}
=4x²(4-4a)(2+4a)
=32x²(1-a)(1+2a)

D₂≦０から　　x²(1-a)(1+2a)≦０……②

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/18 21:59

不等式

ax²+y²+az²-xy-yz-zx≧0
が任意の実数 x, y, z に対して成り立つような定数 a の値の範囲を求めよ。

ということで、取り敢えず邪魔者が付いていない y について整理してみると
y²-(z+x)y+a(z²+x²)-zx
=1/4 [4y²-4(z+x)y+4a(z²+x²)-4zx]
=1/4 [{2y-(z+x)}²-(z+x)²+4a(z²+x²)-4zx]
=1/4 [{2y-(z+x)}²+(4a-1)z²-6zx+(4a-1)x²]
=1/4(4a-1) [{2y-(z+x)}²+{(4a-1)z}²-6(4a-1)zx+{(4a-1)x}²]
=1/4(4a-1) [{2y-(z+x)}²+{(4a-1)z-3x}²+{(4a-1)²-9}x²]
=1/4(4a-1) [{2y-(z+x)}²+{(4a-1)z-3x}²+(4a-1+3)(4a-1-3)x²]
=1/4(4a-1) [{2y-(z+x)}²+{(4a-1)z-3x}²+(8(2a+1)(a-1)x²]
のように平方完成することができます。これが常に (≧0) となるのですから
1/4(4a-1)>0 且つ 8(2a+1)(a-1)≧0
でなければなりません。
つまり
a>1/4 且つ { a≦-1/2 又は 1≦a }
即ち
a≧1
ということになります。

このように、丹念に平方完成をひたすら続けていけば答えに辿り着けます。判別式など持ち出すとかえって混乱します。高校程度の数学では判別式など必要ありません。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/18 20:42

係数がやや複雑な式だから、とっつきにくいのかなあ。

不等式 Au^2 + B ≦ 0 (ただし A≠0) が
任意の実数 u について成り立つための条件は、
A < 0 かつ B ≦ 0 でしょう？
Y = AX^2 + B のグラフを X,Y 平面に書いてみれば判るはずです。

①を変形すると (1-4a){z + 3x/(1-4a)}^2 - 8(1-a)(1+2a)x^2/(1-4a) ≦ 0　←[1]
となるので、A = 1-4a < 0, B = -8(1-a)(1+2a)x^2/A ≦ 0 が成り立つような
a の範囲を求めればいいだけです。( u = z + 3x/(1-4a) と置いた。)
B のほうの式は、A < 0 から (1-a)(1+2a)x^2 ≦ 0 と変形できます。

判別式 (D_2)/4 が登場する理由は、①を[1]へ変形するときに
平方完成を使うからです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/18 16:08

例えば、

何故D2/4が登場するのか理由が分からないという事なのか、
D2/4を使う理由は分かるが、
D2/4の続きの式を導き出せないとか　
もっと具体的に！

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/18 15:54

前にも回答したましたが、どこがどのように分からないのかもっと具体的に返信をするなどしてくれないと、

こちらも説明が難しいです