二次関数の難問です。 P=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx（0≦x≦1, 1≦y≦2, 2≦

二次関数の難問です。

P=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx（0≦x≦1, 1≦y≦2, 2≦z≦3）について、Pの最小値とそのときのx, y, zの値を求めよ

という問題について、どこから手をつければよいかすら分かりません。どのように解けばよいのかご教授いただければ幸いです。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/20 13:49

まず、パッと見

P = (1/2){ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 }
と変形できますね。
ここで s = x-y, t = y-z と置くと
P = (1/2){ s^2 + t^2 + (s-t)^2 }
　= s^2 - st + t^2
　= (1/4)(s+t)^2 + (3/4)(s-t)^2.
更に u = (1/2)(s+t), v = (√3/2)(s-t) と置きましょう。
P = u^2 + v^2 です。これは幾何でいけそう。

置いた式を逆に解くと、P の定義域は
0 ≦ x ≦ 1,
1 ≦ x - u - v/√3 ≦ 2,
2 ≦ x - 2u - (1 - 1/√3)v ≦ 3
と書けます。
この図形は xuv 空間の平行六面体です。

√P が直線 u = v = 0 からの距離なので
x軸方向から見た図で考えれば、
x 一定での定義域の断面が平行四辺形になっていて
√P を最小にする頂点が読み取れます。
その点での u,v が x の一次式で表せるから、
P が x の二次式になって、
0 ≦ x ≦ 1 での最小値を出せばおしまい。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/19 19:22

0≦x≦1≦y≦2≦z≦3

P=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx

P=x^2-x(y+z)+y^2+z^2-yz
P_x=2x-y-z
2x≦2
-y≦-1
-z≦-2
2x-y-z≦-1
だから
P_x=2x-y-z≦-1<0
だからx増加時Pは減少だから
x=1のときPは最小
x=1とすると
P=1+y^2+z^2-y-yz-z
P=z^2-z(y+1)+y^2-y
P_z=2z-y-1
4≦2z
-2≦-y
2≦2z-y
1≦2z-y-1
だから
P_z=2z-y-1≧1>0
だからz増加時Pは増加だから
z=2のときPは最小
z=2とする
P=1+y^2+2^2-y-2y-2
P=y^2-3y+3
P=(y-3/2)^2+3/4≧3/4
だから
x=1,y=3/2,z=2のとき
Pの最小値
3/4

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/19 19:14

zは定数だと思うことにして、Pが極小になる条件と、その点でのPの値を調べる。

で、zがいくつだったらPの極小値が一番小さくなるかを考える。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/12/19 19:02

単なる思い付きですが、下記の因数分解の公式は 役立ちませんか。

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 。