「ブロック機能」のリニューアルについて

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc の因数分解がどうしても解けません。
解答は(a+b)(b+c)(c+a)となっているのですが、
どうしてもそのようになりません。
どなたか分かりやすく教えてください。

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A 回答 (8件)

因数定理を使う方法もあります。



式をf(a,b,c)とおく。
f(a,b,c)はa,b,cの3次式であり、a,b,cについて対称式(かつ交代式)であることも明らかですから、この性質をうまく使ってやります。
b=-aとおいてみると a+b=0なので
f(a,-a,c)=c(-a^2)+a^2*c=0
なので、因数定理からf(a,b,c)は(a+b)で割り切れる。
同様に、f(a,b,-b)=0から(b+c)で割り切れ、
f(a,b,-a)=0から(a+c)で割り切れることが分かります。

以上から
f(a,b,c)は以上の因数の積(a+b)(b+c)(a+c)で割り切れることが分かります。またこの積がa,b,cの3次式ですから、
f(a,b,c)も3次式なので、
f(a,b,c)=k(a+b)(b+c)(a+c)
と置けます。a^2*bの係数を比較してk=1を求めることができます。
よって
f(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)
と因数分解ができたことになります。
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こんにちは~


基本的には、他の方の回答と変わりがありませんが、
思考のプロセスを、説明に加えてみました。

さて、そういうとき、まず私ならしようと思うことですが、
万が一、答えが間違っていたりすると、悩んだことがバカバカしいので、
問題と答えの両方の式を展開して、同じであることを確認します。
(自分だけではなく、相手も疑ってみるという発想)

・・・ということで、間違えないように次々と掛け合わせてみると、
どちらの式も、

a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc

となり、「答えは間違いない!」ということが分かります。
(aの二乗=「a^2」って見にくいですね~。「a2」がいいの?・・・独り言でした)
このことにより、「解く方法が必ずあるはずだ!」との確信を持つことができ、
「何とか頑張って解こう!」と、あくまでも前向きに臨んでいけるわけです。

さぁ、何から手をつけるか? いろいろな方法があるかもしれません。
貴方が天才ではなく凡人なら、やはり「月並みなテクニック」からスタート。
つまり、(a+b)=X とでもおいて、式を書き直してみます。

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(X+c)(ab+Xc)-abc ・・・(1)

この後、一体どうなるのか?うまくいくのか?・・・さっぱりわかりませんが、
じっとしていても仕方がなく、他にすることもないので展開してみます。

(1)の続き
=X^2c+Xc^2+Xab ・・・(2)

おっ? うまいこと「abc」が消えたわ~
んで、さらに、おおっ? どの項も「X」がついてるので、これでくくれる。

(2)の続き
=X(Xc+ab+c^2) ・・・(3)

これで、X⇒a+b に戻せば、とりあえず「因数分解の形」にはなる。
もしかして、終わったかも?? ・・・んで、やってみます。

(3)の続き
=(a+b)(ab+bc+ca+c^2) ・・・(4)

部分点ありの問題であれば、優しい先生ならこれで半分くらいくれる?
でも、改めて考えてみると、問題の式 (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc って、
a⇔b⇔c を互いに入れ替えても同じになるキレ~イな式ですから、
答えの式も、そういうキレ~イな式になるような気もします。
ここで、(4)といえば、「c^2」があったりして、気持ち悪さが残る式です。
もうひと頑張りだ~~・・・ということで、(4)を (c+a) でくくってみます。

(4)の続き
=(a+b){b(c+a)+c(c+a)}
=(a+b){(b+c)(c+a)}
=(a+b)(b+c)(c+a)

・・・と、ちゃんとキレ~イな形になって、涙・感動のゴールインです。
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この回答へのお礼

とても分かりやすく丁寧に教えてくださって
本当にありがとうございました!!!!!!!
やってみると意外と簡単ですね。

お礼日時:2009/04/04 22:20

#1です。

ごめんなさい。これは覚えてないとしょうがないパターンだと思い込んでいて、「次数のもっとも低い文字で整理する(次数が同じならどれでもよい)」という常道でよかったことに気づきませんでした。
他の方の回答の通りです。
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基本的なやり方で解くこともできます。



[1]
とりあえず全部展開します。

[2]
3文字まとめて考えるのは大変なので、とりあえず1文字のみに注目します(今回はaに注目します)。
展開した式をaについて整理し、「aの二次式」とみなして因数分解します。

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
= (a^2)b + abc + c(a^2) + a(b^2) + (b^2)c + c(a^2) + abc + b(c^2) + (c^2)a - abc (展開)
= (b + c)(a^2) + { (b^2) + 2bc + (c^2) }a + {(b^2)c + c(b^2)} (aについて整理)
= (b + c)(a^2) + { (b + c)^2 }a + (b + c)bc
= (b + c){ (a^2) + (b + c)a + bc } ((b + c)で因数分解)
= (b + c)(a + b)(a + c) (前式の中括弧内を因数分解)
= (a + b)(b + c)(c + a) (並び替え)

{ (a^2) + (b + c)a + bc } = (a + b)(a + c)になる過程は大丈夫ですか?
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まず、展開してください。


そして、aに注目してください。
そうすると、
(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+b^2c+bc^2
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(a+b)(b+c)(c+a)
となります。

さきほど、「aに注目してください」とかきましたがこれはbでもcでもいいです。
因数分解の問題をするときは、次数が一番大きい文字に注目すればいいのです。

例えば、あなたは6x+9+x^2の因数分解できますよね。
このときx^2+6x+9と並び替えていると思います。
これは次数が一番大きい文字xに注目していることなのです。
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(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc = a2b+abc+ca2+ab2+b2c+abc+abc+bc2+c2a-abc=a

(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)+c2(a+b)=(a+b)(ab+bc+ca+c2)=(a+b){b(c+a)+c(c+a)}=(a+b)(b+c)(c+a)となります
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X=a+bとします。


(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(a+b+c)(ab+c(b+a))-abc
=(X+c)(ab+cX)-abc
=Xab+cX^2+abc+c^2X-abc
=Xab+cX^2+c^2X
=X(ab+cX+c^2)
=(a+b)(ab+c(a+b)+c^2)
=(a+b)(ab+ca+bc+c^2)
=(a+b)(a(b+c)+c(b+c))
=(a+b)(b+c)(a+c)

これでどーかな?
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(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc


={(a+b)+c}{c(a+b)+ab}-abc
=c(a+b)^2+(a+b)(c^2+ab)+abc-abc
=(a+b){c^2+(a+b)c+ab}
=(a+b)(b+c)(c+a)

一応、こんなふうにやるのかと思いますが、じゃあ、どう考えてこれを自分で思いつくのかと言われると難しいです。覚えてしまった方がよいのではないでしょうか。
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